Wannafly Winter Camp 2019 Day4 G 置置置换 (oeis/DP)

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https://zhixincode.com/contest/16/problem/G?problem_id=243
题意：求 $1..n$的排列中满足对于任意 $i>1$，若 $i$为奇数 $a_{i-1}<a_i$，若 $i$为偶数 $a_{i-1}>a_i$， $n<=1000$。

这题比赛的时候暴力出了前10项就oeis了，然后查到一篇关于齿排列的论文https://max.book118.com/html/2015/0907/24832737.shtm直接找到了递推公式如下 $A_0=A_1=1$ $2A_{n+1}=\sum^{n}_{k=0}\dbinom{n}{k}A_kA_{n-k}\ (n\ge1)$
然后就直接写上去交了，要注意除以 $2$的时候要用乘法逆元，因为这个WA了一发。

讲题的时候才知道正解应该是DP，DP想起来也不是很难，令 $f[i][j]$表示前 $i$个数以 $j$结尾的符合题目条件的 $1..i$的排列。
当 $i$是奇数时（山峰），要求前面的数比 $j$小，可得 $f[i][j]=\sum^{j-1}_{k=1}{f[i-1][k]}$；
当 $i$是偶数时（山谷），要求前面的数比 $j$大，然而之前并没有出现 $i$这个数字，但是有一个巧妙的方法就是可以将之前出现过的大于等于 $j$的数字全部加 $1$，即可符合条件，所以可得 $f[i][j]=\sum^{i-1}_{k=j}{f[i-1][k]}$；
这显然是个 $O(n^3)$的做法，使用前缀和可以优化到O(n^2)。

//直接套用齿排列递推公式
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MOD=1000000007;
int n;
long long A[1010];
long long C[1010][1010];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    A[0]=A[1]=A[2]=1;
    C[1][0]=C[1][1]=1;
	for (int i=2;i<=1000;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=1000;j++)
        {
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1]);
            C[i][j]%=MOD;
        }
	}
    for(int i=3;i<=1000;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i-1;j++)
        {
            A[i]+=(C[i-1][j]*A[j]%MOD)*A[i-1-j] % MOD;
            A[i]%=MOD;
        }
        A[i]=(A[i] * 500000004)%MOD;
    }
    printf("%lld\n",A[n]);
    return 0;
}

//DP做法
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MOD=1000000007;
int f[1010][1010],s[1010][1010];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    f[1][1]=s[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(i%2==1)
            {
                f[i][j]=s[i-1][j-1]%MOD;
                s[i][j]=(s[i][j-1]+f[i][j])%MOD;
            }
            if(i%2==0)
            {
                f[i][j]=(s[i-1][i-1]-s[i-1][j-1]+MOD)%MOD;
                s[i][j]=(s[i][j-1]+f[i][j])%MOD;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",s[n][n]);
    return 0;
}