2017 CCPC 杭州 HDU6265B 积性函数

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/downloads/CCPC2018-Hangzhou-ProblemSet.pdf

B题数论题 h(n)=∑ d|n φ(d) × n /d 求一个数的h值我们只要意识到他是一个积性函数就解决了这个函数看起来很像狄利克雷卷积我们构造一个函数f(n)=n;h(n)=∑ d|n φ(d) × f(n /d)

欧拉函数φ是积性函数构造的f是完全积性函数所以他们的狄利克雷卷积h也是积性函数然后推导一下答案就是 ∑(pi^qi+(pi-1)*qi*pi^(qi-1)) (1<=i<=m)

其实当你没有意识到他是一个积性函数推导的时候也可以发现他可以用组合情况写这就用到了子集生成知识了很简单一个dfs就可以了 m最大20 子集个数最大就是2^20 可以接受

然后枚举子集就可以得到结果了

关于积性函数和狄利克雷卷积推荐几个博客 https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/6035766.html#undefined

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　https://blog.csdn.net/liyizhixl/article/details/79997478

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　https://www.cnblogs.com/wfj2048/p/6537861.html

积性函数性质

1.若

n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} p_{3}^{a_{3}} . . . p_{n}^{a_{n}}

2.若

f

狄利克雷卷积性质：

$(f * g) = \sum_{d | n} f (d) g (\frac{n}{d})$
$f * (g * h) = (f * g) * h$
$f * (g + h) = f * g + f * h$
$f * g = g * f$

位向量法子集生成模板 O(n*2^n)

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 2e5+10,M = 1000000007;
 4 typedef long long ll;
 5 int a[maxn],b[maxn];
 6 void print_subset(int n, int b[],int cur)
 7 {
 8     if(cur==n)
 9     {
10         for(int i=0;i<cur;i++)
11         {
12             if(b[i])
13                 printf("%d ",a[i]);
14         }
15         printf("\n");
16         return;
17     }
18     b[cur]=1;
19     print_subset(n,b,cur+1);
20     b[cur]=0;
21     print_subset(n,b,cur+1);
22 }
23 int main()
24 {
25     int n;
26     cin>>n;
27     for(int i=0;i<n;i++)
28         a[i]=i+1;
29     memcpy(b,a,sizeof(a));
30     print_subset(n,b,0); //传参后会修改b的值 所以copy一个数组
31 }

AC代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 1e5+10 ,mod = 998244353;
 4 typedef long long ll;
 5 ll poww(ll a,ll b)
 6 {
 7     ll ans=1;
 8     while(b>0)
 9     {
10         if(b&1)
11             ans=(ans*a)%mod;
12         b=b>>1;
13         a=(a*a)%mod;
14     }
15     return ans;
16 }
17 int main()
18 {
19     int t;
20     cin>>t;
21     while(t--)
22     {
23         ll q,p,ans=1;
24         int m;
25         cin>>m;
26         while(m--)
27         {
28             cin>>p>>q;
29             ll temp=1;
30             temp=(temp*(p-1))%mod;
31             temp=(temp*q)%mod;
32             temp=(temp*poww(p,q-1))%mod;
33             temp=(temp+poww(p,q))%mod;
34             ans=ans*temp%mod;
35             //cout<<ans<<endl;
36         }
37         cout<<ans<<endl;
38     }
39 }

2017 CCPC 杭州 HDU6265B 积性函数

猜你喜欢