【单调队列优化dp】分组

>>>>题目

【题目】

给定一行n个非负整数，现在你可以选择其中若干个数，但不能有连续k个数被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大

【输入格式】

第一行两个整数 n，k，如题目描述
接下来一行n 个数，表示这个序列

【输出格式】

输出一行一个数，表示最大的和

【输入样例】

5 2
1 2 3 4 5

【输出样例】

【数据范围与约定】

对于20％的数据，保证1 <=n <=10。

对于40％的数据，保证1 <=n <=200。

对于60％的数据，保证1 <=n <=100000。

对于100％的数据，保证1 <=n <=2000000，1<=K<=n。

>>>>分析

因为题目给出非负整数，根据贪心，我们尽量多选择长度为k的序列

数据范围很大，暴力求每一段的和的做法肯定会T掉，那么考虑dp

题目涉及到求区间和，我们预处理出前缀和，用O(1)复杂度求出区间和

定义：dp[i]表示前i个人的最大收益，sum[i]表示前缀和

现在选的这一段区间和用sum[i]-sum[j]表示（i-k<=j<=i）

这段区间与前一段长为k的区间中间要空一个数（不能连续选k+1个数），于是我们固定i点，不断地枚举j点，找到和的最大值

因为sum求的是闭区间的前缀和， sum[i]-sum[i]表示区间[ j+1 ,i ]的和，中间空的数就是j，再加上dp[j-1]就可以更新dp[i]的值

综上，我们可以得到状态转移方程

dp[i]=max( dp[j-1]+sum[i]-sum[j]) （i-k<=j<=i）

这里的max是对应每一个j点算出括号里的值，再求最大值

那么又怎么算最大值呢？总不能真的枚举j再找最大值吧？肯定不行，时间复杂度太高

但是你会突然发现

原方程可以拆分成 dp[i]=max(dp[j-1]-sum[j])+sum[i]

然后我们可以发现这个式子的变化与sum[i]无关，因为我们固定了i点，只是j点在变

那么我们考虑一个超棒的家伙——单调队列优化

（注意一下单调队列里面存的是下标）

定义f[j]=dp[j-1]-sum[j]，将f[j]丢进单调队列里面，每次取出队首元素

扩展下一个点的时候，更新一下：f[i+1]=dp[i]-sum[i+1]（和上面的式子是一样的），将它丢进单调队列里面就好啦

ヾ(๑╹◡╹)ﾉ"

>>>>代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000005
#define ll long long
using namespace std;
int head=0,tail=1,n,k;
ll dp[maxn],f[maxn],sum[maxn];
int a[maxn],q[maxn];
int read()
{
    int x=0 ; char c=getchar() ;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar() ;
    while(c>='0'&&c<='9') { x=x*10+c-'0', c=getchar() ; }
    return x;
}
int main()
{
//    freopen("group.in","r",stdin);
//    freopen("group.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        a[i]=read();
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&i-q[head]>k) head++;//如果队首的元素已经不在范围里，踢出队列 
        dp[i]=f[q[head]]+sum[i];//取出队首元素，更新dp[i]的值 
        f[i+1]=dp[i]-sum[i+1];//更新 f[i+1]
        while(head<tail&&f[q[tail-1]]<f[i+1]) tail--;//维护单调队列，将小于f[i+1]的数都踢出去 
        q[tail++]=i+1;
    }
    printf("%I64d",dp[n]);
    return 0;
}

>>>>总结

通过这道题目，我们还可以知道

对于一类dp，状态转移方程抽象为：dp[i]=max(f[j])+g[i] (l[i]<=j<=r[i])

并且l[i]~r[i]单调不减时，我们都可以考虑用单调队列优化

步骤：踢出过时元素，更新dp值，新元素入队并且维护单调队列

那么就到这里啦！

完结撒花٩(๑❛ᴗ❛๑)۶

题目来源： 2019.2.19杨雅儒学长的考试题