BZOJ4002 [JLOI2015]有意义的字符串

题意

Description

B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求
\[ \lfloor \left ( \frac{b+\sqrt{d}}{2} \right ) ^n \rfloor \mathrm{mod} \ p \]
其中\(p=7528443412579576937\)

Input

一行三个整数 b;d;n

Output

一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

Sample Output

76

HINT

其中 \(0<b^2 \le d<(b+1)^2 \le 10^{18},n \le 10^{18}\)，并且 \(b \bmod 2=1,d \bmod 4=1\)

分析

因为这个底数长得特别像特征方程的根，所以考虑构造数列，使得
\[ a_n = A*(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n + B*(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n \]
假设特征方程是\(x^2 + bx +c=0\)，则
\[ b = -b_0 \\ b^2 -4c = d_0 \]
所以得到数列的递推公式：
\[ a_n = b a_{n-1} - \frac{b^2-d}{4} a_{n-2} \]
由于我们想让\(A=1,B=1\)，所以\(a_0 = 2 ,a_1=b\)。

因为\(b \bmod 2=1,d \bmod 4=1\)，所以\(\frac{b^2-d}{4}\)必然是整数。那么\(a_n\)就可以用矩阵乘法解决了。那么
\[ (\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n = a_n - (\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n \]
因为\(0<b^2 \le d<(b+1)^2\)，所以\(\frac{b-\sqrt{d}}{2} \in (-1,0]\)，题目要求的是下取整，所以当\(b^2<d,n \bmod 2 =0\)时，答案要减去1。

时间复杂度\(O(2^3 \log n \log modulo)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
        data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
    return x=read<T>();
}
typedef unsigned long long ULL;

co ULL mod=7528443412579576937;
ULL add(ULL x,ULL y){
    return (x+=y)>=mod?x-mod:x;
}
ULL mul(ULL x,ULL y){
    ULL re=0;
    for(;y;y>>=1,x=add(x,x))
        if(y&1) re=add(re,x);
    return re;
}
ULL A[2][2],ANS[2][2],c[2][2];
void mul(ULL a[2][2],ULL b[2][2]){
    for(int i=0;i<2;++i)
        for(int j=0;j<2;++j)
            for(int k=0;k<2;++k)
                c[i][j]=add(c[i][j],mul(a[i][k],b[k][j]));
    for(int i=0;i<2;++i)
        for(int j=0;j<2;++j)
            b[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
}
ULL b,d,n;
int main(){
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    read(b),read(d),read(n);
    A[0][0]=b,A[0][1]=(d-b*b)/4,A[1][0]=1;
    ANS[0][0]=b,ANS[1][0]=2;
    bool del=b*b<d&&n%2==0;
    for(;n;n>>=1,mul(A,A))
        if(n&1) mul(A,ANS);
    printf("%llu\n",add(ANS[1][0],mod-del));
    return 0;
}