[BZOJ4002][JLOI2015]有意义的字符串-矩阵乘法

有意义的字符串

Description

B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求

Input

一行三个整数 b;d;n

Output

一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

Sample Input

1 5 9

Sample Output

76

HINT

其中 0< b^2< = d<(b+1)2< = 10^18,n< = 10^18，并且 b mod 2=1,d mod 4=1

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没有找到一个完整的推导过程呢……
可能大家都认为这道题太水了……
咱实在是太菜了QAQ

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思路:
首先这个式子和共轭根式长相类似，那么可以化成类似的形式:

$$ans=((\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n) - (\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$$

于是目标就变成了，求前两项和后一项之和!

考虑前两项。
可以发现，根据二项式定理，前两项的结果一定是个整数。

考虑推出一个系数均为有理数的递推公式，这样才能在模意义下方便地计算。

设

$$a_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$$
那么目标就是快速求 $a_n$的值。

给出一个合法的递推式:

$$a_n=b*a_{n-1}+\frac{d-b^2}{4}a_{n-2},a_0=2,a_1=b$$
可以发现，这个递推式不存在无理数，可以很好地运用矩阵乘法直接算~
由于蒟蒻太弱不会正向推导出这个式子，只会逆向推回去，因此这里不给出证明……

考虑最后一项。
可以发现，$0 < b^2 \leq d < (b+1)^2$，则最后一项取值范围为$(-1,1)$。
而对于$20$%的数据，有$b=1,d=5$
于是，后一项大于$0$，当且仅当$d \neq b^2$且$n$为偶数。此时，原式需减去1。

于是这就做完了~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;
const ll md=7528443412579576937ll;
const int K=2;

ll b,d,n;

inline ll mul(ll a,ll b)
{
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=(ret+a)%md;
        a=(a+a)%md;b>>=1;
    }
    return ret;
}

struct matrix
{
    ll a[K][K];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    inline void e(){for(int i=0;i<K;i++)a[i][i]=1;}
    matrix operator * (const matrix &o)const
    {
        matrix ret;
        for(int i=0;i<K;i++)
            for(int j=0;j<K;j++)
                for(int k=0;k<K;k++)
                    (ret.a[i][j]+=mul(a[i][k],o.a[k][j]))%=md;
        return ret;
    }
}ans,base;

inline matrix qpow(matrix a,ll b)
{
    matrix ret;ret.e();
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a;
        a=a*a;b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%llu%llu%llu",&b,&d,&n);
    base.a[0][0]=0;
    base.a[1][0]=1;
    base.a[0][1]=(d-b*b)/4;
    base.a[1][1]=b;
    ans.a[0][0]=2;
    ans.a[0][1]=b;
    ans=ans*qpow(base,n);

    printf("%llu\n",ans.a[0][0]-(d!=b*b && !(n&1)));
    return 0;
}