「BZOJ4004」「JLOI2015」装备购买

题目描述

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 $n$ 件装备，每件装备有 $m$ 个属性，用向量 $z_i(a_1 ,\dots, a_j ,\dots, a_m)$ 表示 $(1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq m)$，每个装备需要花费 $c_i$，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。

对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果脸哥买了 $z_1,\dots,z_p$这 $p$ 件装备，那么对于任意待决定的 $z_h$，不存在 $b_1,\dots,b_p$ 使得 $b_1z_1 + ... + b_pz_p = z_h$（$b$ 是实数），那么脸哥就会买 $z_h$，否则 $z_h$ 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子, $z_1 =(1, 2, 3);z_2 =(3, 4, 5);z_h =(2, 3, 4)，b_1 =\frac{1}{2}，b_2 =\frac{1}{2}$， 就有 $b_1z_1 + b_2z_2 = z_h$，那么如果脸哥买了 $z_1$ 和 $z_2$ 就不会再买 $z_h$ 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 $n,m$ 。接下来 $n$ 行，每行 $m$ 个数，其中第 $i$ 行描述装备 $i$ 的各项属性值。接下来一行 $n$ 个数，其中 $c_i$表示购买第 $i$ 件装备的花费。

输出格式：

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2

输出样例#1：

2 2

说明

如题目中描述，选择装备 $1$ 装备 $2$，装备 $1$ 装备 $3$，装备 $2$ 装备 $3$ 均可，但选择装备 $1$ 和装备 $2$ 的花费最小，为 $2$。

对于 $100\%$ 的数据, $1 \leq n,m \leq 500$$, 0 \leq a_j \leq 1000$ 。

题解

题意：给定 $n$ 个 $m$ 维向量，求一个最大线性无关组，并且最大线性无关组中的向量权值和最小。
首先我们不考虑权值的问题。
求一个 $m$ 维最大线性无关向量组，可以根据 《工程数学-线性代数》上介绍的方法，将向量加入矩阵，然后进行初等行变换将其化为行阶梯型矩阵。

举个栗子（样例）：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow[r_3-2r_1]{r_2-3r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -4\\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{r_2\times -1/2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow[]{r_3+ r_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
其中最终的行阶梯型矩阵的秩 $R(B) = 2$，所以原向量组的最大线性无关组的大小为 $2$ 。
接下来我们在来考虑权值的问题。由于矩阵进行初等行变换秩不变，我们可以贪心得从小到大加入矩阵，然后尽量用权值低的向量消掉权值高的向量即可。
在这里我用的类似线性基维护。
复杂度 $O(nlog_2n + nm^2)$

My Code

本题卡精度，所以使用 long double，并开大eps
否则你会这样：

/**************************************************************
    Problem: 4004
    User: infinityedge
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1372 ms
    Memory:7908 kb
****************************************************************/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

#define eps 1e-6

using namespace std;

struct vec{
    long double d[501];
    int c;
}v[505];

int cmp(vec x, vec y){
    return x.c < y.c;
}

long double b[501][501];
int n, m;
int ans[501], vis[501];
void solve(){
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = m; j >= 1; j --){
            if(fabs(v[i].d[j]) > eps){
                if(fabs(b[j][j]) > eps){
                    long double dk = v[i].d[j] / b[j][j];
                    for(int k = 1; k <= m; k ++){
                        v[i].d[k] -= b[j][k] * dk;
                    }
                }else{
                    for(int k = 1; k <= m; k ++){
                        b[j][k] = v[i].d[k];
                    }
                    ans[j] = v[i].c;
                    vis[j] = 1;
                    break;
                }   
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            scanf("%Lf", &v[i].d[j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%d", &v[i].c);
    }
    sort(v + 1, v + n + 1, cmp);
    solve();
    int pans = 0, cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        if(vis[i]) cnt++, pans += ans[i];
    }
    printf("%d %d\n", cnt, pans);
    return 0;
}