原博客英文版地址：
http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
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翻译如下：
相关话题：OpenGL Transformation
- 概述
- 透视投影
- 正交投影
更新：MathML 版本在这里 here
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------概述
计算机显示器是2D表面。必须将OpenGL渲染的3D场景作为2D图像投影到计算机屏幕上。GL_PROJECTION矩阵用于此投影变换。首先，它将所有顶点数据从视点坐标转换为剪切坐标。然后，通过用剪切坐标的w分量划分，这些剪切坐标也被变换为标准化设备坐标（NDC）。
被视椎体夹住的三角形
因此，我们必须记住，剪切（视锥体剔除）和NDC变换都集成到GL_PROJECTION矩阵中。以下部分描述了如何从6个参数构建投影矩阵，这6个参数分别是： 左，右，底，顶，近和远的边界值。
注意，在除以
之前，在剪切坐标中执行视椎体剔除（剪切）。剪切坐标
和
通过和比较，如果任何剪辑坐标小于
或大于，则该顶点将被丢弃。 也就是
然后，OpenGL将在剪切发生的地方重建多边形边缘。
需要解释的名词：视锥体（frustum），是指场景中摄像机的可见的一个锥体范围。它有上、下、左、右、近、远，共6个面组成。在视锥体内的景物可见，反之则不可见。为提高性能，只对其中与视锥体有交集的对象进行绘制。
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透视投影
在透视投影中，截断的金字塔视椎体（视点坐标）中的3D点被映射到立方体（NDC）; x坐标范围从[l，r]到[-1,1]，y坐标范围从[b，t]到[-1,1]，z坐标范围从[-n，-f]到[-1,1]。
请注意，视点坐标是在右手坐标系中定义的，但NDC使用左手坐标系。也就是说，在视点空间中，原点的相机是沿着-z轴看的，但它在NDC中沿着+ Z轴看。由于glFrustum（）只接受近（near）及远（far）的距离是正值，所以我们在构建GL_PROJECTION矩阵的时候需要消除它们的区别。
在OpenGL中，视点空间中的3D点被投影到近平面（投影平面）上。下图显示了视点空间中的点
如何投影到近平面上的
。
从视椎体的顶视图可以看出，视点空间的x坐标，x e被映射到x p，其通过使用相似三角形的比率来计算;
从视椎体的侧视图可以看出，视点空间的y坐标，yp也是通过相似三角形计算的；
注意，x p和y p都取决于z e ; 它们与-z e成反比。换句话说，它们都被-z e除以。这是构建GL_PROJECTION矩阵的第一条线索。在通过乘以GL_PROJECTION矩阵变换视点坐标之后，裁剪坐标(剪切坐标)仍然是齐次坐标。通过除以w分量，它最终变为归一化设备坐标（NDC）。
因此，我们可以将裁剪坐标的w分量设置为-z e。并且，GL_PROJECTION矩阵的第4个向量变为（0,0，-1,0）。
接下来，我们将x p和y p映射到具有线性关系的NDC的x n和y n ；[l，r]⇒[-1,1]和[b，t]⇒[-1,1]。
然后，我们将x p和y p代入上述方程式
注意，我们使每个方程的两个项都可被-z e整除以用于透视分割（x c / w c，y c / w c）。我们之前将w c设置为-z e，括号内的项变为裁剪坐标的x c和y c。
从这些方程式中，我们可以找到GL_PROJECTION矩阵的第1行和第2行。
现在，我们只有第3行的GL_PROJECTION矩阵亟待解决。寻找z n与其他略有不同，因为视点空间中的z e总是被投射到近平面上的-n。但是我们需要唯一z值用于剪切和深度测试。另外，我们应该能够取消投影（逆变换）。由于我们知道z不依赖于x或y值，因此我们借用w分量来找到z n和z e之间的关系。因此，我们可以这样指定GL_PROJECTION矩阵的第3行。
在视点空间中，w e=1.因此，等式变为;
为了找到系数A和B，我们使用（z e，z n）关系; （-n，-1）和（-f，1），并将它们放入上面的等式中。
为了求解A和B的等式，重写B的等式（1）;
将方程（1'）代入方程（2）中的B，然后求解A;
将A放入方程（1）中以找到B ;
我们发现A和B，因此ze和zn的关系变成：
最终，我们发现GL_PROJECTION矩阵的所有值，完整的投影矩阵是
该投影矩阵用于一般的视椎体。如果观看体积是对称的，这是
和
，那么它可以被简化为;
在我们继续之前，请再次看一下z e和z n，eq。（3）之间的关系。您注意到它是一个有理函数，并且是z e和z n之间的非线性关系。这意味着近平面的精度非常高，但远平面的精度非常低。如果范围[-n，-f]越来越大，则会导致深度精度问题（z-fighting）; 远平面周围的z e的小变化不会影响z n值。n和f之间的距离应尽可能短，以最小化深度缓冲精度问题。
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正交投影
构造用于正投影的GL_PROJECTION矩阵比透视模式简单得多。
视点空间中的 所有x e，y e和z e分量线性映射到NDC。我们只需要将矩形体积缩放到立方体，然后将其移动到原点。让我们使用线性关系找出GL_PROJECTION的元素。
由于正交投影不需要w分量，因此GL_PROJECTION矩阵的第4行保持为（0,0,0,1）。因此，正交投影的完整GL_PROJECTION矩阵是
它可以进一步简化，如果观察体是对称的，和。
