CCPC-Wannafly Winter Camp Day7 D---二次函数【数论】【构造】

题意：

有三个二次函数，分别是$x^2 + a_1x + b_1$, $x^2 + a_2x + b_2$, $x^2 + a_3x + b_3$

现在要找三个整数$x_1, x_2, x_3$， 使得三个函数值中至少有两个相等。

思路：

主要的难点是要找三个整数。

Camp时候洪老师说的平移啥啥的，理解不了......

看了网上另一个题解的思路。

假设两个二次函数相等的函数值是$y$， 并假设是第一个和第二个相等

那么我们可以知道$x_1 =- \frac{a_1 + \sqrt{a_1^2 - 4(b_1 - y)}}{2}, x_2 =- \frac{a_2 + \sqrt{a_2^2 - 4(b_2 - y)}}{2}$

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令$T^2 = a_1^2 - 4(b_1 - y), t^2 = a_2^2 - 4(b_2 - y)$

可以得到$T^2 - t^2 = a_1^2 - 4b_1 - a_2^2 + 4b_2 = (T+t)(T-t)$

于是我们进行因式分解，枚举$T^2-t^2$的因子，判断得到的$x_1, x_2$是否为整数。

对于$T^2-t^2$为0和1时进行特判就行了。

对于每一对$a$和$b$，判断是否有这样两个整数解。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #include<stack>
 7 #include<set>
 8 #include<vector>
 9 #include<cmath>
10 
11 using namespace std;
12 typedef long long LL;
13 
14 LL a[3], b[3]; 
15 int t;
16 LL ans1, ans2;
17 
18 bool solve(LL a1, LL b1, LL a2, LL b2)
19 {
20     int sub = abs(a1 * a1 - 4 * b1 - a2 * a2 + 4 * b2);
21     if(sub == 0){
22         if((a1 - a2) % 2 == 0){
23             ans1 = 0;
24             ans2 = (a1 - a2) / 2;
25             return true;
26         }
27         else return false;
28     }
29     else if(sub == 1){
30         if(a1 % 2 != a2 % 2){
31             if(a1 * a1 - 4 * b1 > a2 * a2 - 4 * b2 && a1 % 2){
32                 ans1 = (1 - a1) / 2;
33                 ans2 = -a2 / 2;
34                 return true;
35             } 
36             else if(a1 * a1 - 4 * b1 < a2 * a2 - 4 * b2 && a2 % 2){
37                 ans2 = (1 - a2) / 2;
38                 ans1 = -a1 / 2;
39                 return true;
40             }
41             else return false;
42         } 
43         return false;
44     }
45     else{
46         for(int i = 1; i * i < sub; i++){
47             if(!(sub % i) && !((sub / i + i) % 2) && !((i - sub / i) % 2)){
48                 LL T = (sub / i + i) / 2;
49                 LL t = (i - sub / i) / 2;
50                 if(a1 * a1 - 4 * b1 < a2 * a2 - 4 * b2)swap(T, t);
51                 if(!((T + a1) % 2) && !((t + a2) % 2)){
52                     ans1 = -(a1 + T) / 2;
53                     ans2 = -(a2 + t) / 2;
54                     return true;
55                 } 
56             }
57         }
58         return false;
59     }
60 }
61 
62 void work()
63 {
64     for(int i = 0; i < 3; i++){
65         for(int j = i + 1; j < 3; j++){
66             if(solve(a[i], b[i], a[j], b[j])){
67                 if(i == 0)
68                 {
69                     printf("%lld %lld %lld\n", ans1, j == 1?ans2:0, j==1?0:ans2);
70                     //return;
71                 }
72                 else{
73                     printf("0 %lld %lld\n", ans1, ans2);
74                     //return ;
75                 } 
76                 return;
77             }
78         }
79     }
80 }
81 
82 int main()
83 {
84     scanf("%d", &t);
85     while(t--){
86         for(int i = 0; i < 3; i++){
87             scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
88         }
89         work();
90     }    
91     
92         
93     return 0;
94 }