Miller_Rabin测试法

简介：Miller_Rabin法是一种简便的素数测试方法，一般用于测试大数是否为素数。

Miller_Rabin测试原理：如果n是素数，且与a互质，则 $a^{n-1}\equiv 1(mod n)$ 。(1)

证明：请参考费马小定理证明方法。

思路：依据上述原理，我们可以不断选取与 n 互质的 a ，如果上式(1)都成立的话，那么n可能是一个素数，否则一定不是一个素数。如此一来只要a取得够多，就可以保证结果的准确度。一般在32位内的任一个整数n，如果其通过以2、7、61为底的Miller_Rabin测试，那其一定是素数，反之则一定不是。

优化：通过(1)式，只能说大概率验证素性，但是仅仅如此是不够的，为了减少误判的可能，同时大大减少计算量，可以通过如下结论进行优化：

定理：如果 $a^{2}\equiv 1(mod n)$ ，则必有 $a\equiv 1(mod n)$ 或 $a \equiv n-1(mod n)$ 。

如果有一个大于2的质数 n ，令 n - 1 = 2^s * d，其中d为奇数，根据费马小定理，如果a不能被素数n整除，那么 $a^{n-1}\equiv 1(mod n)$ 。于是可以得出：， $a^{d}\equiv 1$ 或者 $a^{2}\equiv 1(mod n)$ ， $a^{2r*d}\equiv n-1(mod n)$ ，(0<= r < s)。

于是只要找到一个a，满足 $a^{2}\not\equiv1(mod n)$ 或者存在一个自然数r(0 <= r < s)，使得 $a^{2r*d}\not\equiv n-1(mod n)$ ，就可以说明n一定不是素数，反之则有可能是素数。

模板：

#include<cstdio>
typedef long long ll;

ll qpow(ll a,ll b,ll m){	//快速幂算法 
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b&1)	res = res*a%m;
		a = a*a%m;
		b >>= 1;
	}
	return res%m;
}

bool Miller(ll x,ll n){		//Miller_Rabin测试 
	ll b = n-1;
	while(!(b&1)) b >>= 1;
	x = qpow(x,b,n);		//此时b为没有因子2的奇数 
	while(b < n-1 && x != 1 && x != n-1)
		x = (x*x)%n,b <<= 1; 
	return x == n-1 || b&1 == 1;
	//当x=n-1，或b为奇数时返回true; 
}
bool isPrime(ll n){
	if(n == 2 || n == 7 || n == 61)	return true;
	if(n == 1 || !(n&1)) return false;
	return Miller(2,n)&&Miller(7,n)&&Miller(61,n);
}
int main(){
	ll n;
	scanf("%lld",&n);
	if(isPrime(n))	puts("Yes");
	else puts("No");
}

猜你喜欢