miller_rabin 证明与实现

143. 质数判定__模板题链接

前置知识

费马小定理： $p$是质数，则对于任意的 $a$， $a$与 $p$互质，则有 $a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod {p}$。

二次探测定理：如果 $p$是一个质数， $x ^ 2 \equiv 1 \pmod p$，则有解为 $x_1 = 1, x_2 = p - 1$，推理如下

$\Rightarrow x ^ 2 - 1 \equiv 0 \pmod p$

$\Rightarrow p \mid x ^ 2 - 1$

$\Rightarrow p \mid (x - 1)(x + 1)$

$\Rightarrow x_1 = 1, x_2 = p - 1$

同样的我们即可反证：如果 $x ^ 2 \equiv 1 \pmod {p}$，并且 $x != 1 ， x != n-1$，那么我们一定可以认定 $p$不是质数。

miller_radin的实现

对于一个质数 $p$，我们显然可以得到 $p - 1 = 2 ^ s d$的形式， $d$是奇数。

我们在 $[2,n)$中随机选取一个数 $a$，显然有 $a ^ {p - 1} = a ^ {2 ^ s d} = ((((a ^ d) ^ 2 )^ {……}) ^ 2)$。

所以我们可以从 $a ^ d$开始，做 $s$次二次探测，如果二次探测失败，我们直接得到这个数不止质数，当二次探测完成时，我们再做一次费马小定理的特判，判断该数是不是质数。

miller_rabin 模板代码

ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = (ans + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) ans = quick_mult(ans, a, mod);
        a = quick_mult(a, a, mod);
        n >>= 1;
    }   
    return ans;
}

bool miller_rabin(ll n) {
    if(n == 2) return true;
    if(n < 2 || !(n & 1)) return false;
    ll s = 0, d = n - 1;
    while(!(d & 1)) {
        d >>= 1;
        s++;
    }
    srand(time(0));
    for(int i = 1; i <= 5; i++) {
        ll a = rand() % (n - 2) + 2;
        ll now = quick_pow(a, d, n), pre = now;
        for(int j = 1; j <= s; j++) {
            now = quick_mult(now, now, n);
            if(now == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return false;
            pre = now;
        }
        if(now != 1) return false;
    }
    return true;
}