miller_rabin学习笔记 数论

首先介绍一下miller_rabin算法。
miller_rabin是一种素性测试算法，用来判断一个大数是否是一个质数。
miller_rabin是一种随机算法，它有一定概率出错，设测试次数为$s$，那么出错的概率是$4^{-s}$，至于为什么我也不会证明。我觉得它的复杂度是$O(slog^2n)$，因为你要进行$s$次，每次要进行一次快速幂，每次快速幂要$logn$次快速乘，每次快速乘又是$logn$的，所以这一部分是$log^2n$的，另一部分是把$n$分解成$u*2^k$，复杂度是$logn$，所以k是$logn$量级的，对于$k$，每次要快速乘，所以这一部分的复杂度也是$log^2n$的，于是总复杂度$O(mlog^2n)$。
下面开始介绍miller_rabin的做法。
首先我们知道，根据费马小定理，如果$p$为质数且$a$与$p$互质，那么有$a^{p-1}=1(mod\ p)$，如果我们让$a<n$，那么只需要满足$p$为质数即可。但是反过来，满足$a^{p-1}=1(mod\ p)$的p不一定是质数。但是幸运的是，对于大多数的$p$，费马小定理的逆定理是对的，但是为了让我们得到正确是结果，我们需要提高正确率。所以接下来我们需要二测探测。
若$n$为质数，并且$x^2=1(mod\ n)$，那么$x=1$或$x=n-1$，因为$x^2=1$,则$x=1$或$x=-1$，而在模意义下这个$-1$就成了$n-1$。我们来证明一下为什么在$x^2=1(mod\ p)$,且$x≠1(mod\ p)$，且$x≠p-1(mod\ p)$时$p$不是质数。

$$x^2=1(mod\ p)$$
$$x^2-1=0(mod\ p)$$
$$(x-1)(x+1)=0(mod\ p)$$
所以有 $p|(x-1)$或 $p|(x+1)$或 $p|(x+1)(x-1)$
因为 $x≠p-1(mod\ p)$
所以 $(x+1)\%p≠0$, $p$不整除 $x+1$
因为 $x≠1(mod\ p)$
所以 $(x-1)\%p≠0$, $p$不整除 $x-1$
所以只能是 $p|(x+1)(x-1)$
由此我们可以发现 $x+1$和 $x-1$都不含 $p$的所有因子，而它们的乘积却含有的 $p$的全套因子，那么在相乘时 $x+1$和 $x-1$分别提供了一个非 $1$非 $p$的因子，才能使乘积是 $p$的倍数(因为 $p|(x+1)(x-1)$嘛)，当然这两个因子可能相同。
那么，我们可以证明出 $p$可以表示为两个两个非 $1$非 $p$的数的乘积，那么就证明了 $p$是合数而不是质数了。
我们可以根据这个性质进行二次探测。
如果我们设要测试的数为 $n$,若 $n$是 $2$或 $n$是偶数，那么我们可以直接判断 $n$的奇偶，否则令 $p=n-1$，将 $p$分解成 $u*2^k$,枚举 $k$来不断进行二次探测。则那么我们随机一个底数 $x$，快速幂求出 $x^u(mod\ n)$，然后不断的 $x*x\ mod\ p$来进行二次探测。
至于为什么在代码中这么做是对的，我看到以了个很好的解释，在这里分享一下。
$$a{p-1}=1(mod\ p)$$
$$a^{u*2^k}=1(mod\ p)$$
$$(a^{u*2^{k-1}})*(a^{u*2^{k-1}})=1(mod\ p)$$
那么我们把 $a^{u*2^{k-1}}$看作 $x$，那么就是在当前 $a^{u*2^k}=1(mod\ p)$的时候验证 $a^{u*2^{k-1}}(mod\ p)$是否是 $p-1$或者 $1$即可。
另外最后别忘了用费马小定理来判断一下，代码中的 $x$其实的 $x^{p-1}(mod\ p)$之后的结果，所以只需要看最后的 $x$是否是 $1$即可。
最后是代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int q,m,s=5;//s为测试次数（选了几次底数a） 
inline long long ksc(long long x,long long y,long long mod)//快速乘 
{
    long long res=0;//注意赋初值 
//  x%=mod;
    while(y)
    {       
        if(y&1)
        res=(res+x)%mod;
        x=(x<<1)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;//注意设为1，不是0 
//  x%=mod;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=ksc(res,x,mod);
        x=ksc(x,x,mod);
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline int miller_rabin(long long n)
{
    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11)
    return 1;
    if(n<2||!(n%2)||!(n%3)||!(n%5)||!(n%7)||!(n%11))
    return 0;
    long long x,pre,u;//pre为上次的结果 
    int k=0;//k为n分解成了2的多少次方
//最终n被分解为u*2^k 
    u=n-1;//求x^u%n;
    while(!(u&1))//u为偶数则右移，否则就停 
    {
        ++k;
        u>>=1;
    } 
    srand(time(0)+19260817);
    for(int i=1;i<=s;++i)
    {
        x=rand()%(n-2)+2;//生成一个[2,n)的随机底数
        x=ksm(x,u,n);//先求出x^u mod n
        pre=x; 
        for(int j=1;j<=k;++j)//把移位减掉的量补上，并在这地方进行二次探测
        {
            x=ksc(x,x,n);
            if(x==1&&pre!=1&&pre!=n-1)//二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数
            return 0;
            pre=x;
        }
        if(x!=1)//费马小定理 
        return 0; 
    }
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&q,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,pd;
        scanf("%d",&x);
        pd=miller_rabin(x);
        if(pd==1)
        printf("Yes\n");
        else
        printf("No\n");
    }
    return 0;
}

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