质数判断超详解--HihoCoder--1295--Eular质数筛法||Miller_Rabin算法

问题描述：前驱质数查找--统计前缀和类似https://blog.csdn.net/queque_heiya/article/details/105931133

思路一：采取素数筛法，初始化求解，暴力统计；

1.优点在于可以初始化统计，解决多个输入的问题；2.缺点在于在n>=1e7+10以上，10s无法解决的；

代码如下：时间7953ms;

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const ll maxa=1e6+10;
int dp[maxa];
bool prime(ll n){
	if(n==2)	return true;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
		if(n%i==0)	return false;
	return true;
}
void init(){
	memset(dp,0,sizeof dp);
	dp[2]=1;
	for(int i=3;i<=maxa;i++){
		if(prime(i))	dp[i]+=dp[i-1]+1;
		else dp[i]=dp[i-1];
	}
}
int main(){
	ll n;
	init();
	scanf("%lld",&n);
	printf("%lld\n",dp[n]);
	return 0;
}
/*Sample Input
9
Sample Output
4*/ 

思路二：prime()+暴力统计；优缺点鉴于思路一和思路三之中；

代码如下：时间4985ms;O(n*sqrt(n));

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
bool prime(LL n){
	if(n==2)	return true;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
		if(n%i==0)	return false;
	return true;
} 
int main(){
	LL n,ans=0;
	scanf("%lld",&n);
	for(LL i=2;i<=n;i++)
		if(prime(i))
			ans++;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

思路三：Miller_Rabin算法+暴力统计；

1.优点在于所用时间低；2.缺点在于代码书写复杂，设计内容多；

代码如下：时间：3642ms; 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL mul_mod(LL a,LL b,LL mod){
    LL ret=0;
    while(b){
        if(b&1)    ret=ret+a;
        if(ret>=mod)	ret-=mod;
        a=a+a;
        if(a>=mod)	a-=mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL pow_mod(LL a,LL b,LL mod){
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1)ret=mul_mod(ret,a,mod);
        a=mul_mod(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
bool Miller_Rabin(LL n){//判断素数 
    LL u=n-1,pre,x;
    int i,j,k=0;
    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11)	return true;
    if(n==1||(!(n%2))||(!(n%3))||(!(n%5))||(!(n%7))||(!(n%11))) return
            false;//初始化判断素数 
    for(;!(u&1);k++,u>>=1);//按照要求转换形式 
    for(i=0;i<5;i++){
        x=rand()%(n-2)+2;//生成随机数 
        x=pow_mod(x,u,n);
        pre=x;
        for(j=0;j<k;j++){
            x=mul_mod(x,x,n);
            if(x==1&&pre!=1&&pre!=(n-1))//二次探测判断 
                return false;
            pre=x;
        }
        if(x!=1) return false;//用费马小定理判断 
    }
    return true;
}
int main(){
	LL n,ans=0;
	scanf("%lld",&n);
	for(LL i=2;i<=n;i++)
		if(Miller_Rabin(i))
			ans++;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}