[AGC013-E][DP][矩阵乘法]Placing Squares

Description

给你一个大小为m的集合S，S中不包含n。
现在对于一个正整数序列a1−ak(k并不是给定的)，如果不存在si属于集合S，且sk=n，就是合法的，其中s表示a的前缀和。
这样的序列贡献是 $\Pi a[i]^2$ ，求所有合法序列的贡献和。
$m<=10^5，n<=10^9$

题解

一开始净往整数拆分想了…
模型转化
有一个长度为 $n$ 的序列，你可以放分隔符。如果 $i$ 不可用的话 $i$ 和 $i+1$ 中间不能放分隔符
两个分隔符中间要放两个不同颜色的球，可以放在同一位置
求方案数
于是可以用一个 $dp[i][0/1/2]$ 表示在 $i$ 这个位置，这里和上一个分隔符组成的区间以及放了 $0/1/2$ 个球的方案数
转移很简单自己写一下就知道了…
由于分隔符只有 $10^5$ 个，分转移写成矩阵然后分隔符那里暴力做一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#include<bitset>
#include<set>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(LL x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(LL x){write(x);putchar('\n');}
const LL mod=1e9+7;
const int MAXM=100005;
int a[MAXM],n,m;
void ad(LL &x,LL y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
struct matrix
{
	LL m[3][3];
	matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}
	friend matrix operator *(matrix u1,matrix u2)
	{
		matrix ret;
		for(int i=0;i<=2;i++)for(int j=0;j<=2;j++)for(int k=0;k<=2;k++)
			ad(ret.m[i][k],u1.m[i][j]*u2.m[j][k]%mod);
		return ret;
	}
}nxt,temp,st;
matrix pow_mod(matrix u1,int b)
{
	matrix ans;
	for(int i=0;i<=2;i++)ans.m[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*u1;
		u1=u1*u1;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void vio()
{
	matrix u1;
	u1.m[0][0]=st.m[0][0];
	u1.m[0][1]=(st.m[0][0]*2+st.m[0][1])%mod;
	u1.m[0][2]=(st.m[0][1]+st.m[0][2]+st.m[0][0])%mod;
	st=u1;
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=read();
	st.m[0][0]=1;
	nxt.m[0][0]=nxt.m[2][0]=1;
	nxt.m[0][1]=nxt.m[2][1]=2;nxt.m[1][1]=1;
	nxt.m[1][2]=1;nxt.m[2][2]=2;nxt.m[0][2]=1;
	int lst=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		temp=pow_mod(nxt,a[i]-lst);
		st=st*temp;
		vio();lst=a[i]+1;
	}
	temp=pow_mod(nxt,n-lst);
	st=st*temp;
	pr2(st.m[0][2]);
	return 0;
	
}

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