LeetCode刷题：279. Perfect Squares 完美平方数的DP解法
原题链接：https://leetcode.com/problems/perfect-squares/
Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.
Example 1:
Input: n = 12
Output: 3
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.
Example 2:
Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.
问题描述：给定一个正整数N，这个正整数N可以用最少的整数的平方和表示。
例如：12可以表示为 4+4+4，返回值 n=3，即 3个4之和。而4是2的平方。
给定整数13,13可以表示为 4+9， 返回值 n=2，即 2的平方和加上3的平方和。
问题分析：这个题目实际上描述的是的Lagrange四平方定理。更加确切的说法应该是：给定一个正整数N，这个正整数N可以用不超过4个整数的平方和表示。 这个定理在数学上已经被证明是正确的。我们不用证明，只需要使用这个定理来设计算法即可。
Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。
那么我们这个问题的解法就变得很简单了，我们的结果只有1,2,3,4，四种可能。
算法分析：采用DP来求解。
我们先看一个分析表格：
n的取值从1到20.
黄色格子分别表示1,2,3,4的平方值，结果为：1,4,9,16
而我们通过表格中的数值，可以找到一个规律：红色部分表示平方数，所有的完美平方数都可以看做一个普通数加上一个完美平方数，那么采用DP求解时的状态方程就是：
dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])
算法设计：
package com.bean.algorithm.dp;
import java.util.Arrays;
public class PerfectSquares2 {
public static int numSquares(int n) {
//开辟一个dp数组
int[] dp = new int[n+1];
//预设值
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
for(int i = 0; i * i <= n; i++)
dp[i * i] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; i + j * j <= n; j++) {
dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j]);
}
}
return dp[n];
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int number=12;
int result = numSquares(number);
System.out.println("result = "+result);
}
}
输出结果：
result = 3