关于斯特林数

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本文仅为涉及与斯特林数有关的公式，本无详细证明；

斯特林数

$s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m)$
第一类斯特林数，表示n个可区分元素划分成m个圆排列的方案数。
$S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)$
第二类斯特林数，表示n个可区分元素划分成m个子集的方案数。

相关公式

$n^m=\sum_{k=0}^n S(m,k)C_n^kk! =\sum_{k=0}^n S(m,k)n^{\underline k}$
$\sum_{i=1}^n i^m=\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i S(m,k)C_i^kk!=\sum_{k=0}^nS(m,k)k! \sum_{i=k}^nC_i^k=\sum_{k=0}^nS(m,k)k!C_{n+1}^{k+1}$
斯特林反演
$f(n)=\sum_{i=0}^nS(n,i)g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^ns(n,i)(-1)^{n-i}f(i)$