斯特林数 笔记

斯特林数 笔记

这篇文主要记录一些lizbaka在学习斯特林数时遇到的一些比较关键的点
此文条理不甚清晰，并且很不完善主要是给自己看的，仅供参考，不建议用于系统深入学习

第二类斯特林数

第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)个非空无标号集合的方案数

其递推方程为：

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\times\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\]

\[\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1\]

其意义为，最后一个元素，单独组成一个集合，或加入已有的任意一个集合

第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)又称为“\(n\)子集\(k\)”

事实上，第二类斯特林数可以利用容斥原理得到其卷积形式的推导公式，进而可以使用NTT求出，时间复杂度\(O(n\log n)\)（待填坑）

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第一类斯特林数

第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)个圆排列的方案数

其递推方程为：

\[\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\times\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=1\]

其意义为，最后一个元素，单独组成一个圆排列，或者插入到已有的任意一个元素的左侧

第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)又称为“\(n\)轮换\(k\)”

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每一个排列都与一个轮换的集合等价(《具体数学》\(P217-P218\))

于是有:

\[\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=n!(n\ge0)\]

斯特林数与常幂/下降幂/上升幂

记下降幂：

\[x^{\underline n}=x\times(x-1)\times(x-2)\cdots\times(x-n+1)\]

记上升幂：

\[x^{\overline n}=x\times(x+1)\times(x+2)\cdots\times(x+n+1)\]

这常常出现在组合计数中

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幂之间的转换公式(《具体数学》\(P219-P220\))：

\[x^{\overline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k\]

\[x^{\underline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k\]

\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline k}\]

事实上，我们可以建立常幂与组合数之间的关系：

\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\times k!\times \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\]

从而转化到组合数进行求解