1. 问题描述

问题就是典型的下料问题。把板材切割成要求数量和规格的产品。其中，输入为板材的大小、产品的数量和大小，输出为余料率、产品的坐标。

具体算法概述参见百度百科吧模拟退火

2. 自己的理解

退火过程中的每个金属分子有能量和状态两种属性，将能量最低时的状态记做r，能量和状态的概率有对应关系，能量越高，分子状态为r的概率越低，反之在最低温度时，r状态的概率趋近于1。将组合优化问题看做金属，解看做状态，那么最优解就是能量最低的状态，同时也定义一个费用函数来表示能量，通常都用T乘某个略小于1的系数。当T值比较高时，状态变化比较活跃，当T值达到最低时，达到最优解的概率趋近于1。

第一次接触模拟退火算法，表示这的确是一个不错的方法。对于求最优解的问题，的确能节约不少计算时间。模拟退火算法的精髓就在于其将收缩和扩张动态结合在一起，得到最优解是收缩的过程，而为了避免陷入局部最优解，又得有扩张的表现。再次印证了我一直以来坚信的一个想法，大自然演化的很巧妙，如果有什么无法解决的问题，或者想有什么创新，就到大自然中去找吧，哈哈，说多了。下面具体谈谈模拟退火。

3. 算法详细讲解

3.1 算法步骤

任选一初始解 $x_0$ 。给定初始温度 $T_{max}$ ;
若在该温度达到内循环停止条件，转第3步，否则，从解邻域 $N(x_i)$ 中随机选取 $x_j$ ，计算目标函数的差值，如果小于0，则 $x_i=x_j$ ，否则，计算 $exp[(-f(Xj)-f(xi))/T]>random(0,1)$ 则 $x_i=x_j$ ;重复2
更新温度 $T=d(T)$ ，若满足外循环停止条件，中止计算，否则，返回2。

更详细的介绍请看我上传的我们老师讲课的PPT，里面证明了此算法的适用条件，并证明了此算法能够达到全局最优解。

3.2 问题需要满足的条件

要想应用此算法，问题必须满足以下条件：

可达性。即无论起点如何，任何一个状态都可以到达。这样才使我们有得到最优解的可能
渐进不依赖起点。由于起点的选择有非常大的随机性，我们的目的是达到全局最优，因此，应渐进的不依赖起点。
分布稳定性。包含两个内容：其一是当温度不变时，其马尔科夫链的极限分布存在；其二是当温度渐进0时，其马尔科夫链也有极限分布。（马尔科夫链就是一种随机状态序列，可以直观的理解为一个解）

3.3 实现算法需要确定几个量

然后需要确定以下几个量：

解的形式
邻域的选取
初始温度的选取
温度下降的规则
每一温度下马氏链的迭代步长和停止规则

只要确定了以上这些量的具体定义，就可以根据上面提到的步骤进行计算了。

3.4 问题分析

对于下料问题，

将产品的下料顺序看成问题的一个解，启发式安排下料，得出余料率（余料率就是目标函数，其值越小越好，最优解即是余料率最小时的下料顺序）。余料率小于5%时，停止计算；
邻域的构造采用2-opt，即随机改变其中两个产品的生产顺序。因为是随机改变两个顺序，所以邻域中每个解的选取概率都是相同的
起始温度可以选择T=100，温度下降就用T=T*k,k可以去略小于1的数，比如0.96，终止温度可选10；
迭代步长就选用最简单的非时齐，每一温度下只迭代一步。

3.5 计算余料率的方法

最后，对于每个解计算余料率时用的启发式方法（对于每个要生产的产品，优先占角）（此部分算法是参考别的论文写的）如下：

找到当前板材中的可用角，（只考虑左下角，即└形状的角），如果没有就取一张新的板材，
计算下一个要切割的产品占哪个角比较好，规则如下：
（1）计算到产品到形成该角以外的其他矩形块（包括板材边）的最小距离Dmin,此值越小越好。
（2）如果有n个角的Dmin值相同，则计算此角的贴边率（边重叠总长/产品周长）
（3）如果还是有相同的角，就按序号优先级了
直到所有的产品都切割完，输出余料率。

4. C++代码部分

//主程序部分
for (; T > 10; T*=0.96)
	{
		tuihuo(productbuf, material, alproduct, T, ExceStock);//迭代一步
		cout << ExceStock << " " << endl;
		if (ExceStock <= 0.01)break;
	}

//退火算法部分
void tuihuo(deque<stock> &probuf, const stock &matrl, vector<stock> &alpro, double &T, double &excestock)
{
	deque<stock> probuf1(probuf);//放置交换后的一个邻域
	vector<stock> alpro1;        //放置交换后的解启发式运算结果
	twoOpt(probuf, probuf1);
	double exstock, exstock1;//余料率
	alpro.clear();
	exstock = ProductLayout(probuf, matrl, alpro);
	exstock1 = ProductLayout(probuf1, matrl, alpro1);

	if (exstock1 <= exstock)//如果邻域更好
	{
		probuf.swap(probuf1);
		exstock = exstock1;
		alpro = alpro1;
	}
	else
	{
		double P = exp((exstock - exstock1)/T);//概率
		static default_random_engine e1;
		static uniform_int_distribution<unsigned> u1(0, 1);
		if (P > u1(e1))
		{
			probuf.swap(probuf1);
			exstock = exstock1;
			alpro = alpro1;
		}
	}
	excestock = exstock;
}

基于退火算法的启发式下料问题（C++）

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