动态规划从入门到精通（二）-棋盘类题目

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题目：Leetcode 62. Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

题目的意思： 有个棋盘如上图，机器人每次能向下走一格或者向右走一格，从左上角走到右下角有多少走法

例如：输入: m = 3, n = 2 ，即一个3*2的棋盘
1. 右 -> 右 -> 下
2. 右 -> 下 -> 右
3. 下-> 右-> 右
一共三种走法，所以输出 3

分析：从题意可以得知这是最优解的题目，由于题目涉及棋盘，所以我们画3*2的图进行分析：

由图可知，左上角为起点，右下角为终点。然后参考动态规划从入门到精通（一）-入门篇的步骤，将这个大问题拆解为小问题。
仔细观察棋盘，可以得出一个结论，走到终点所需的最小步数等于“走到终点左方位置所需的最小步数”与“走到终点上方位置所需的最小步数”的和，即上图中两个菱形的位置。
以此类推，不断拆分，可以得出递推式，也就是状态转移方程，f(m,n) = f(m-1,n) + f(m,n-1)

之后就是讨论底层的边界问题f(0,0),f(0, y),f(x, 0)，f(0,0)为起点，所以f(0,0)=0；f(0, y)代表棋盘第一行，以这一行为棋盘，只能往右走，只有一种走法，所以有f(0,y) = 1；同理有f(x,0) = 1；

代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] tab = new int[m][n];
        //f(0,0)为起点，所以f(0,0)=0
        tab[0][0] = 0;
        //f(0, y)代表棋盘第一行，若以这一行为棋盘，只能往右走，只有一种走法，所以有f(0,y) = 1；
        for(int i = 0; i < n; i++)
            tab[0][i] = 1;
        //f(x, 0)代表棋盘第一列，若以这一列为棋盘，只能往下走，所以有f(x,0) = 1；
        for(int i = 0; i < m; i++)
            tab[i][0] = 1;

        //用状态转移方程迭代
        for(int i = 1; i < m; i++) {
            for(int j = 1; j < n; j++) {
                tab[i][j] = tab[i - 1][j] + tab[i][j - 1];
            }
        }
        return tab[m-1][n-1];
    }
}

总结：棋盘类的题目都可以用这种拆解棋盘的方法，如Leecode 64. Minimum Path Sum，区别只是在于状态转移方程比f(m,n) = f(m-1,n) + f(m,n-1)多出一些条件。