下文节选自《具体数学》, 已获图灵授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!
本书成形于斯坦福大学的同名课程讲义，该课自1970年以来每年都会开设．每年大约有50名学生选学这门课，有本科生，主要是研究生．他们毕业后逐渐在各地开设了类似的课程．由此看来，向更为广泛的读者（包含大学二年级学生）提供教材的时机已经成熟了．
“读者对象、读者水平以及处理方式，这些描述是前言里应该谈及的．”——P. R. Halmos[173]
具体数学诞生之际，正逢一个黑暗的、暴风骤雨般动荡的十年．在那些骚动不安的岁月里，长期秉承的价值观频频受到质疑，大学校园成了争论的温床．大学课程本身也受到挑战，数学同样难逃严重细究之厄运．John Hammersley刚刚写了一篇发人深省的文章“On the enfeeblement of mathematical skills by‘Modern Mathematics’and by similar soft intellectual trash in schools and universities”（《论中学和大学中被“现代数学”以及类似的软智力垃圾弄得日益衰弱的数学技巧》）[176]，其他颇感担忧的数学家们[332]甚至发问：“数学能得到拯救吗？”本书作者高德纳（Donald E. Knuth）撰写了名为The Art of Computer Programming（《计算机程序设计艺术》）的系列专著．在写第一卷时，他发现一些数学工具从他的数学武库中消失了．为透彻而扎实地理解计算机程序，他所需要的数学已经与他读大学数学专业时所学习的内容迥然不同．所以，他引入了一门新的课程，讲授他认为本该有人教授他的那些内容．
“人们用行话来武装自己，的确得到一点短暂的威望：他们可以自命不凡，卖弄表面的专业知识．但是，我们对受过教育的数学家们的真正要求，不是他们能说些什么，甚至也不是他们对现存的数学知识知道些什么，而是他们会用所学知识做些什么，以及他们能否实实在在地解决实践中提出来的数学问题．简言之，我们要的是行动，而不是空谈．”——J. Hammersley[176]
这门冠名“具体数学”的课程起初是为矫正“抽象数学”而设置的，那时，具体的经典结果正在被接踵而至的俗称“新数学”的抽象思想迅速摒弃在现代数学课程表之外．抽象数学是一个奇妙的主题，其中没有任何谬误，它既漂亮、通用，又实用．但是，它的拥护者们误以为，数学的其余部分都是低劣而不再值得关注的了．一般化的目标变得如此时髦，使得整整一代数学家变得不会欣赏具体数学之美，不能享受求解数量型问题的挑战，也不再重视技术手段之价值．抽象数学于是变得排外，并逐渐失去与现实的联系．数学教育需要增加具体的砝码以保持健康的平衡．
高德纳在斯坦福大学第一次讲授具体数学这门课时，说他打算讲授一门硬性而非软性的数学课，这也解释了这个略显古怪的课程名称．他宣称，与某些同事的期望相反，他既不打算讲授集合论，也不打算讲授Stone嵌入定理，甚至不讲授Stone-Čech紧致化．（几位土木工程系的学生于是站起来，安静地离开了教室．）
“数学的核心是由具体的例子和具体的问题组成的．”——P. R. Halmos[172]
尽管具体数学的起步是针对流行趋势的反动，但是它存在的主要理由是具有积极而非消极意义的．作为一门持续受欢迎的课程，它的题材得以“充实”并在各种新的应用中被证明是有价值的．Z. A. Melzak曾出版了两卷本的著作Companion to Concrete Mathematics [267] ，从另一个角度肯定了这一课程名称的恰当性．
“在讲授具体的对象之前就讲授抽象的内容，是完全不应该的．”——Z. A. Melzak[267]
具体数学的素材初看像是一堆互不相干的技巧，但是透过实践可以把它汇集成一组严谨高效的工具．的确，这些技术有基本的一致性，且对许多人都有极强的吸引力．当另一作者葛立恒（Ronald L. Graham）在1979年首次教授这门课时，学生们都感觉很有趣，以至于决定一年后举行一次班级聚会．
具体数学究竟是什么呢？它融合了连续数学和离散数学．1更具体地说，它是利用一组求解问题的技术对数学公式进行有控制的操作．理解了本书的内容之后，你所需要的就是一颗冷静的头脑、一大张纸以及较为工整的书写，以便对看上去令人恐怖的和式进行计算，求解复杂的递归关系，以及发现数据中隐藏的精妙规律．你会对代数技巧得心应手，从而常常会发现，得到精确的结果比求出仅在一定意义下成立的近似解更为容易．
1具体数学的英文Concrete取自连续（CONtinuous）和离散（disCRETE）两个单词．——编者注
具体数学是通向抽象数学的桥梁．
这本书要探讨的主题包括和式、递归式、初等数论、二项式系数、生成函数、离散概率以及渐近方法．其重点是强调处理技术，而不是存在性定理或者组合推理，目的是使每一位读者熟悉离散性运算（如最大整数函数以及有限求和），就好像每一位学习微积分的学生都熟悉连续性运算一样（如绝对值函数以及不定积分）．
“略过看似基础内容的高水平读者，比略过看似复杂内容的较低水平读者，可能错失更多的东西．”——G. 波利亚[297]
注意，这些主题与当今大学本科中的“离散数学”课程的内容截然不同．因此，这门课程需要一个不同的名称，而“具体数学”可谓恰如其分．
最初在斯坦福大学教授“具体数学”的教材是The Art of Computer Programming[207]中的“Mathematical Preliminaries”（数学预备知识）一节．但是，那110页的内容相当简洁，所以另一位作者欧伦·帕塔许尼克（Oren Patashnik）受到启发，撰写了一套长篇幅的补充笔记．这本书就是那些笔记的产物，它扩充了“数学预备知识”中的资料，也更从容地引出了这些预备知识，其中略去了那些较高深的部分，同时又包含了笔记里未提及的主题，使得书的内容更为完整．
[我们没敢叫作“离续数学”（Distinuous Mathematics）．]
我们很享受一起写这本书，因为这门课程就在我们眼前逐渐定型，获得了生命，它就看似是自己写就的．此外，我们这些年来在若干地方采用的非常规方法看起来也十分妥帖，让人忍不住认为，这本书正好宣告了我们所喜爱的做数学的方式．所以我们想，这本书就像讲述数学之美之奇的故事，希望读者能够分享我们写作中的愉悦，哪怕只有ε 那么一点点．
“……一件具体的救生衣抛向沉入抽象大海的学生．”——W.Gottschalk
自从本书在大学环境中诞生以来，我们就一直尝试以非正式的风格来体现当代课堂教学的精神．有些人认为数学是一项严肃的工作，必须是冷冰冰的，但是我们认为数学是娱乐，而且并不羞于承认这个事实．为什么要把工作和娱乐截然分开呢？具体数学充满了引人入胜的模式，其演算推理并非总是轻而易举，然而答案却可能极具魅力．数学工作的欢乐和忧伤都鲜明地反映在这本书中，因为它们是我们生活的一部分．
学生们总是比老师们更有头脑，所以我们请这个教材的首批学生提出他们坦诚的意见，即旁注中的“涂鸦”．在这些“涂鸦”中，有一些仅仅是套话，有一些则很深奥；有一些提醒区分歧义或者含混之处，有一些则是后排那些聪明家伙爱做的点评；有一些是正面的，有一些是负面的，还有一些则不偏不倚．但是，它们都是情感的真实表现，应该有助于读者理解正文内容．（这种旁注的灵感来自名为Approaching Stanford（《走近斯坦福》）的学生手册．在这本手册中，官方的大学信息与即将离校的学生评论相映成趣．例如，斯坦福大学说：“在斯坦福大学这个无定型的生活方式中，有一些东西是你不能错过的．”而旁注中写道：“无定型……鬼知道是什么意思？这里到处都是典型的伪理智主义．”斯坦福大学说：“一群住在一起的学生，他们的潜力是无穷尽的．”而涂鸦则声称：“斯坦福大学的宿舍就像无人管理的动物园．”）
数学涂鸦：Kilroy wasn’t Haar. Free the group. Nuke the kernel. Power to the n. N=l
P =NP.2
我对这个主题的兴趣只能靠边站．
2这些涂鸦都是将某个典故与数学关联在了一起．比如“Kilroy was here!”指第二次世界大战期间美国士兵墙壁涂鸦，而Haar是指Alfréd Haar，一位匈牙利数学家．（如无特殊说明，本书脚注均为译者注.）
旁注中也直接引用了著名数学家们的话，这些话是他们在宣布某些重大发现时所说的．看起来，将莱布尼茨、欧拉、高斯等人的话与那些继续其研究工作的人的话混在一起是合适的．数学是身处各地的人进行的不间断的探索研究，涓涓细流才能汇成浩瀚的海洋．
这是我曾经上过的最令人愉快的课程．你在学习时能加以总结会大有裨益．
这本书包含了500多道习题，分成如下六大类．
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热身题：这是每一位读者在第一次阅读本书时就应完成的习题．
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基础题：这些习题揭示出了，通过自己的推导而不是他人的推导来学习最好．
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作业题：是加深理解当前章节内容的问题．
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考试题：一般同时涉及两章以上的内容，可作为家庭测试题（不作为课堂上的限时考试）．
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附加题：它们超出了学习本教材的学生的平均水平，以耐人寻味的方式扩展了书中的知识．
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研究题：或许非人力所能解，但是这里给出的题似乎值得一试身手（不限时）．
我明白了，具体数学就意味着操练．
作业题挺难，但是我学到很多，值得为它付出时间．
家庭测试题极其重要——请保留它们．
我猜想考试比作业更困难．
附录A中给出了所有习题的答案，常常还附有相关的解题思路．（当然，研究题的“答案”并不完全．但即便如此，也会给出部分结果或者提示，这或许会很有帮助．）我们鼓励读者看一看答案，特别是热身题的答案，但应该首先努力试图求解问题，而不是在这之前就偷窥答案．
偷懒者有可能通过抄袭答案通过这门课程，但他们是在自欺欺人．
在附录C中，我们尝试说明每道习题的出处，因为一个富有教益的问题常常融会了大量的创造性思想或者运气．很遗憾，数学家们有个不好的传统：借用了习题，而不表示感谢．我们相信，相反的做法，例如棋类书籍和杂志中的做法（通常都会指出最初棋类问题的名字、时间和地点），要远胜于此．然而，许多流传已久的问题我们已经无从考证其来源．如果有读者了解某个习题的起源，而书中的说明缺失或不够准确，我们非常乐于知道详情，以便在这本书的后续版本中予以纠正．
困难的考试并没有顾及要准备其他课程的学生．
这本书自始至终使用的数学字体是由Hermann Zapf[227]新设计的，它由美国数学会委托，并且在由B. Beeton、R. P. Boas、L. K. Durst、D. E. Knuth、P. Murdock、R. S. Palais、P. Renz、E. Swanson、S. B. Whidden和W. B. Woolf组成的委员会的帮助下发展起来．Zapf的设计基本原理是抓住数学的韵味，就好像它是一位数学家用极其漂亮的书法书写出来的．采用手写体而不用呆板机械的风格是恰当的，因为人们一般是用钢笔、铅笔或者粉笔创造数学的．（例如，新设计的一个特征是“0”的符号，这个符号的顶部有点尖，因为在曲线回到起点时，手写的零很少能够平滑地闭合．）字母是直立的，而不是斜置的，所以下标、上标以及撇号都更容易与常规符号融为一体．这种新的字体取名为AMS Euler，是以伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（1707—1783）的名字命名的，他有如此众多广为人知的数学发现．这一字母系统包括Euler Text、Euler Fraktur和Euler Script Capitals，还有Euler Greek以及像 和
这样的特殊符号．我们特别高兴能在这本书里让Euler字体家族登台亮相，3因为莱昂哈德·欧拉的精神真的活在每一页中：具体数学就是欧拉的数学．
——葛立恒，高德纳，帕塔许尼克