\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)
这是一道非常简单的数学题。
最近 LzyRapxLzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书，在看到数论那一章的时候， LzyRapxLzyRapx 突然想到这样一个问题。
设
\[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \]
其中，\(\mathrm{lcm}(a,b)\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍数，\(\mathrm{gcd}(a,b)\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数。
给定 \(n\) ，让你求： \(F(n) \bmod1000000007\)。
\(L\) 同学太菜啦，QAQ，并不会做这道简单题，所以他想请你帮他解决这个问题。
\(\color{#0066ff}{输入格式}\)
输入一行，一个正整数 \(n\,(1 \le n \le 10^9)\)。
\(\color{#0066ff}{输出格式}\)
输出 \(F(n)\) ，对 \(10^9 + 7\) 取模。
\(\color{#0066ff}{输入样例}\)
5\(\color{#0066ff}{输出样例}\)
84\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)
对于所有数据，\(1 \le n \le 10^9\)。
\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)
开始推式子
题目要求
\[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \]
可以考虑求
\[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)} \]
然后发现我们要求的答案是下图S1+S3，上面的式子是整个正方形
于是答案可以等于（正方形+对角线）的一半
所以问题转为了下面的式子，顺便改写为gcd形式
\[ F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{i*j}{\mathrm{gcd}(i,j)^2} \]
于是，枚举gcd
\[ \sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [gcd(i,j)==d]\frac{i*j}{d^2} \]
后面把d弄出来
\[ \sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} [gcd(i,j)==1]i*j \]
利用\(\mu * i = e\)套进去
\[ \sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \sum_{k|gcd(i,j)} \mu(k)*i*j \]
即
\[ \sum_{d=1}^n \sum_{k=1}^{\lfloor\frac n d \rfloor}\sum_{k|i} \sum_{k|j} \mu(k)*i*j \]
改为枚举倍数
\[ \sum_{d=1}^n \sum_{k=1}^{\lfloor\frac n d \rfloor} \mu(k)*k^2\sum _{i=1}^{\lfloor\frac n {kd}\rfloor} \sum _{j=1}^{\lfloor\frac n {kd}\rfloor}i*j \]
然后pd换q的套路
\[ \sum_{q=1}^n\sum_{k|q} \mu(k)* k^2 (\sum _{i=1}^{\lfloor\frac n {q}\rfloor}i)^2 \]
\[ 令f(i)=\sum_{k|i}\mu(k) * k^2, g(i)=i^2,t(i)=\mu(i)*i^2 \]
我们现在要求的\(h=f*g\)这样才能杜教筛
考虑将f拆开，可以发现\(f=t*1\)
于是\(h=t*1*g=t*g*1\)
然后可以神奇的发现
\[ (t*g)(n)=n^2*\sum_{d|n} \mu(d)=e \]
然后。。。
\[ h=t*g*1=e*1=1 \]
额，\(h(n)=1\)
不过杜教筛的前半部分是要线性筛的，这东西咋弄啊？
可以发现，\(\mu(d)*d^2\) 是一个积性函数*完全积性函数
所以\(\mu(d)*d^2\)肯定是记性函数
而f是这东西卷上一个1，所以肯定是积性函数，随便筛就行了qwq
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 4e6 + 10;
std::map<int, LL> mp;
LL pri[maxn], mu[maxn], tot, six;
bool vis[maxn];
LL ksm(LL x, LL y) {
LL re = 1LL;
while(y) {
if(y & 1) re = re * x % mod;
x = x * x % mod;
y >>= 1;
}
return re;
}
void predoit() {
six = ksm(6, mod - 2);
mu[1] = 1;
vis[1] = true;
for(LL i = 2; i < maxn; i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot] = i, mu[i] = 1 - (LL)i * i;
for(int j = 1; j <= tot && (LL)i * pri[j] < maxn; j++) {
vis[i * pri[j]] = true;
if(i % pri[j] == 0) {
mu[i * pri[j]] = mu[i];
break;
}
else mu[i * pri[j]] = mu[i] * mu[pri[j]];
}
}
for(int i = 2; i < maxn; i++) mu[i] = (mu[i] + mu[i - 1]) % mod;
}
LL gettot(LL x) {
x %= mod;
LL ans = (x * (x + 1) >> 1) % mod;
return ans * ans % mod;
}
LL getpfh(LL x) {
x %= mod;
LL ans = x;
ans = (ans * (x + 1)) % mod;
ans = (ans * ((x << 1LL) + 1)) % mod;
return ans * six % mod;
}
LL getmu(LL n) {
if(n < maxn) return mu[n];
if(mp.count(n)) return mp[n];
LL ans = n;
for(LL l = 2, r; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
LL tot1 = ((getpfh(r) - getpfh(l - 1)) % mod + mod) % mod;
tot1 = (tot1 * getmu(n / l)) % mod;
ans = ((ans - tot1) % mod + mod) % mod;
}
return mp[n] = ans;
}
LL work(LL n) {
LL ans = 0;
for(LL l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
LL tot1 = ((getmu(r) - getmu(l - 1)) % mod + mod) % mod;
tot1 = tot1 * gettot(n / l) % mod;
ans = (ans + tot1) % mod;
}
return ((ans + n) % mod) * ksm(2, mod - 2) % mod;
}
int main() {
predoit();
printf("%lld\n", work(in()));
return 0;
}