2.3 线性空间
高手对决，不比武艺、拼内功。
前面提过牛顿修仙之路的小故事。一开始，牛同学偶遇武功秘籍《几何原本》，不料有眼无珠擦肩而过。后来，少侠在武林大会惨遭淘汰。幸逢前辈点拨：“练武不练功、到老一场空。”顿悟，从此死磕公理，苦修神功，内力大增，终打通任督二脉，成一代牛人宗师。
要深入解释上面哥德尔的诡论命题的巨大冲击力，也不得不先谈谈一个关于科学理论内功的武功秘籍－－－“线性空间”（数学上喜欢把系统叫做空间）
欲练科学之武，必修数学之功。看不透数学，怎会有科学的眼光。不借数学之力，任何科学只是肤浅纸老虎、只是花拳绣腿虚把式。
由于中国功利化的教育，数学之美极少有人能欣赏，倒是数学题的恶毒厌恶深深烙印心头。数学恐惧症的阴影，是大多数国人的共鸣。其实大可不必，因为数学原本并不恐怖。
对于线性空间的内容，其实我们早就习以为常了，只是有部分朋友也许并不熟悉这个名称。
这里，举几个小事例：
远古，丛林里搏命的老祖宗发现了‘尖石头’的用处，然后创造性用‘木棍’绑住，从而发明了“矛”。 尖石头绑木棍的“矛”，简陋粗鄙，现代社会的我们可能不以为然，但远古丛林却是笑傲江湖的独门绝技、是柔弱人类征服丛林的超级武器。拥有了“矛”神器的人类，虽然四肢不发达、肌肉不强劲、奔跑不敏捷，但是能打跑野狼、射穿公牛、猎食大象。 把不同的零件拼凑而成工具，显然具有划时代的意义。其后，凭借越来越多有用的零件，人类创造了越来越复杂的工具，征服了越来越广阔的天地，一发不可收拾，终于鹤立鸡群，人类从畜生的行列中升天，成为万物之神。工具，与人类文明相生相伴。 可以毫不夸张的说，工具即智慧。工具象征智慧，工具凝聚智慧，工具体现智慧。 所有的工具，无论多么复杂，原理都是一样的：先找一堆有用的零件，再把零件拼凑到一起。
比如新石器工具----“矛”，由零件 ‘尖石头’和 零件 ‘木棍’，捆绑拼凑而成：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛
道理都是相通的，举个更加入门的例子。比如，堆积木。幼儿园小朋友要想堆砌出一个漂亮的大城堡，该怎么做呢？ 第一，他必须有一大堆造城堡的‘零件’，积木块； 第二，聪明的孩子会把积木块，长方体、 圆锥体，等等，按照一定组合方式拼凑一起，造出城堡。如：
【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
如果你是善于思考的天才神童，你会好奇地发现其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程都一样。逻辑形式并无二致：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛
【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
工具意味着智慧，简单工具初级智慧、复杂工具高级智慧。 简单的工具，看得见摸得着，好理解。 复杂的工具（比如包藏于芯片内部的集成电路），看不见摸不着，又如何理解呢？ 其实，有形的工具后面必然是无形的逻辑。 每一个成功的工具后面，都是一个成功的逻辑，如影相随。 哈，似乎高深莫测啦。能不能莫拿虚飘飘的逻辑说事，还是搞点实实在在的东东吧。 难免，一说到逻辑，就有人喊头疼。抱歉，不是俺想故弄玄虚，因为谈智慧就没发绕得过抽象逻辑。其实各位朋友无需心里障碍，逻辑是个好朋友，永远不会出卖你！逻辑是什么呢？ 真谛一点就透，核心就是一个式子：
1 ＋ 2 => 3
它包含了智慧的基本要素：‘零件’和‘拼凑’
零件‘1’和零件‘2’，拼凑出‘3’。 这是小学一年级的智慧
而且，如果你是善于思考的三好学生，你会惊奇地发现远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程都一样，并无二致。形式如下：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛 【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡 【算术题】 1 ＋ 2 => 3
当然，小学的智慧（ 1 ＋ 2 => 3），比幼儿园的智慧（堆积木），更高级些。 从幼儿园1个积木块加两个积木块、1个苹果加两个苹果、一碗饭加两碗饭、一个手指加两个手指，到小学的算术抽象1 ＋ 2 => 3，是一次质的飞跃。 这是有形的工具，到无形的抽象逻辑的飞跃。
当我们从小学升到中学，会发现讨厌的数理化老师总是喜欢布置烤脑壳的应用题，而该死的应用题一般都比较难搞。 饱受数理化作业摧残的我们，早早晚晚会发现做应用题的窍门，只要把课本往前翻几页，找到最近学到的几个定理，再把定理拿出来套作业，基本上就可以轻松搞定解题了。因为所有的解题过程都一定、必须、绝对是由某某定理推出的。即：
定理1 + 定理2 => 习题
而且，如果你是勤于思考的天才学霸，你会惊诧于其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程都一样，并无二致。形式如下：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛
【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
【算术题】 > 1 ＋ 2 => 3
【应用题】 定理1 ＋ 定理2 => 习题
能解题就是智慧，解难题是高智慧，用最简单的方法解题是大智慧。 一般而言，一个应用题会有多种解法，有的解法简单，有的解法复杂。往往所谓天才就是那些能找到最简单方法解题的人。那么，天才是如何找到最简单解题方法的呢？ 所谓天才,就是找到最简单的‘零件’，用最简洁的方法拼凑答案的人。 那么，简单的方法如何寻找呢？有没有什么规律性呢？
我们写一篇文章，无论多么长篇大论华丽素材，总围绕一个中心思想；无管论据源于何方，引入它们都是作为中心思想的要素基石。这和普通的代数演算并无二致，其实和远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程都一样。形式如下：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛 【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡 【算术题】 1 ＋ 2 => 3 【应用题】 定理1 ＋ 定理2 => 习题 【一篇文章】 论据1 ＋ 论据2 => 中心思想
我们今天的所有计算机，都是依据形式化数理逻辑的理论，通过机械化方式计算标准的逻辑门范式从而解答形式逻辑问题的。这和普通的代数演算并无二致，其实和远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程、写文章的过程都一样。形式如下：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛
【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡
【算术题】 1 ＋ 2 => 3
【应用题】 定理1 ＋ 定理2 => 习题
【一篇文章】 论据1 ＋ 论据2 => 中心思想
【数理逻辑】 逻辑门1 ＋ 逻辑门2=> 命题
我们惊奇地发现，上面的式子隐含了某种共通的规律。万象归宗同一理，道理都是相通的。大道至简！！！
进一步看，《几何原本》之所以数千年不朽，是因为公理体系它抓住了关于‘零件’拼凑的最深刻、深邃、深远的本质，这也是智慧的最深刻、深邃、深远的本质。
上面说过，一般我们解题方法是用定理来套习题，即：
定理i ＋ 定理j => 习题z
但是，欧几里德天才地注意到几何体系中已经发现的465条定理都可以由基本的10条公理推导出来，而且他天才洞察力断定几何体系中所有的定理都可以由此10条基本公理推导出来。也就是说，公理是比定理更基本的‘零件’，并且所有的几何学定理都可以由10条公理‘拼凑’而成。
我们知道，几何体系中任意习题可由相关定理解答，即：
定理1＋定理2＋定理3＋定理4＋定理5＋定理6＋定理7＋定理8＋定理9＋定理10＋定理11＋定理12＋… ＋ 定理n => 任意习题
所以上面的定理表达式可以简单转换为公理表达的形式，即：
公理i＋公理j => 任意习题
（注意上面两个表达式的区别，定理有n条，公理却仅只有10条。另请注意，公理仅10条，但习题是‘任意’的）
而且，融会贯通，你肯定会注意到其实远古石器造工具、幼儿园堆积木的过程、小学做算术题的过程、解复杂应用题的过程、公理体系理论过程都一样，并无二致。形式如下：
【新石器】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛 【堆积木】 长方体 ＋ 圆锥体 => 城堡 【算术题】 1 ＋ 2 => 3 【应用题】 定理1 ＋ 定理2 => 习题 【一篇文章】 论据1 ＋ 论据2 => 中心思想 【数理逻辑】 逻辑门1 ＋ 逻辑门2=> 命题 【公理化】 公理i ＋公理j => 任意习题
上面所有的模型，都是把对象的特征属性分解到各个线性特征方向上，这种模型的数学抽象叫做“线性空间”，线性空间的结构异常简单，只有两个关键词：‘零件’和‘拼凑’【术语叫‘特征基’和‘投影’】。
三维特征基线性空间形式如下：
【线性系统】 aX + bY + cZ => P
其中，特征方向X、Y、Z叫做系统的‘特征基’，标量常数a、b、c叫做对象P在特征基上的特征属性‘投影’。
（大家熟悉的归纳法是把系统特征属性抽象为“特征基”；演绎法即特征值“投影”分解。）
所谓“特征基”，就是组成系统的最基本零件。
古人云：读书破万卷、下笔如有神。这里的“书”就是文章的‘基’零件。
比如：熟读唐诗三百首、不会作诗也会吟。这里的“唐诗”就是诗词的‘基’零件。
再比如：读万卷书、行万里路，知行合一。这里的“书”和“路”是‘基’零件，然后通过知行合一形成真知灼见。
比如，经典物理总是把物理问题纳入向量空间参照系，把基矢量作为参照系的基底。
还比如：量子力学算子可以通过本征态分解，量子本征态是矩阵力学的‘基’，本征值是‘投影’。
又比如，如果一个资金雄厚的大型房开商修建一个小区，规模化生产要求他在小区内同时起50栋电梯楼、30栋步梯洋房、100独栋别墅，还要同时建设两所学校、一所幼儿园、一个医院、一个健身中心、一座区域公园、一片区域广场。为保证工期，他必须确定需要哪些材料，比如砖、钢筋、水泥、砂石、门窗、水电线路，这些材料就是‘基’；另外他还要知道每一栋房子对每一种材料需要多少数量，这就叫‘投影’。
在现代‘系统’理论中，最主要最重要的是线性系统。
无论是形式逻辑公理系统、还是量子理论的态叠加空间都是线性空间，
无论是我们熟知的坐标系、或是矢量系统都是线性空间，
经典力学是线性系统的、相对论是多线性系统的，
西格玛是线性系统符号、矩阵也是线性系统的符号，
微分是线性系统、积分也是线性系统，
无穷级数是线性系统、傅立叶变换也是线性系统。
线性系统具有普世的广泛性，几乎我们所熟知的很多自然科学知识结构都可以以线性系统囊括。
人们日常生活的思维模式是基于线性思维的；计算机本身也是一个线性系统；甚至经济现象、文学研究都可以用线性系统入门。
线性空间之所以遍布广泛，本质是由于人类的语言模式、思维模式、逻辑过程，是线性轨迹的。
【思维模式】 已知1 ＋ 已知2 => 新认知
大致来说，简单可以这样来看，虽然不同民族的语言千差万别，但是无论哪种语言都符合形式逻辑，从而是可以公理化的。而公理化，是线性空间的。换句话说，线性系统是人类逻辑的习惯、是人类认知的渠道、是人类智慧的基础。
看来，线性空间确实无处不在。
但是，咦，好象扯远了吧，看不出来线性空间和不完备性定理有毛关系啊？？