2.5 逻辑递归 n+1
曾经，有个名噪一时的理发师悖论，深深刺痛逻辑大师的灵魂。后来，这个悖论靠扩展公理到n+1维，顺利化解了。
理发师悖论：【在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己理发的人理发，我也只给这些人理发。我对各位表示热诚欢迎！”
来找他理发的人络绎不绝，自然都是那些不给自己理发的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的头发长了，他本能地抓起了剃刀。。。。。。
请问，理发师能不能给他自己理发呢？ 要是他给自己理的话，那他就自己理了发，根据他的原则，他不应该为自己理发的人理发的；另一方面，如果要是他不给自己理发的话，根据他的原则，他倒是应该给自己理发的。】
当年，理发师悖论出现在公众视野时，引起一片骚动。
糟糕！大家习以为常的思维糨糊了，逻辑基础出问题了？
不过这个小小的绊脚石当然难不倒聪明的数学家们。通过对集合定义加以限制、通过划分新的系统维度，天才数学家很快排除了这个悖论，而且用新的更强的公理化集合轻而易举弥补了原有逻辑缺陷。
著名的数理逻辑大师罗素提出了形式(逻辑)公理体系，试图甩掉让人心烦的理发师悖论，让伟大数学在完全无悖论的情况下茁壮发展。 罗素定义了一个所有不包含它们自身为元素的那些集合所组成的集合，称为集合R。理法师悖论就相当于是问，集合R是它自身的元素么？如果集合R是自身的元素，那么因为R的任一元素都不是它自身的元素，所以R不是自身的元素；而如果集合R不是自身的元素，因为R是所有包括它们自身为元素的那些集合所组成，那么R应该是自身的元素。数学描述为：设命题函数P(x)有性质“x∉x”，现假设由性质P确定一个集合R——也就是说“R={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：R∈R是否成立？首先，若R∈R，则R是R的元素，那么R不具有性质P，由命题函数P知R∉R；其次，若R∉R，也就是说R具有性质P，而R是由所有具有性质P的类组成的，所以R∈R 。
1908年策梅罗提出一个公理化集合论体系，这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，补充了一条分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此理发师悖论在该系统中被避免了。
换句话说，如果碰到上面理发师悖论类似问题，原有数理逻辑体系无能为力时，数学家可以把这个悖论问题重新定义特征属性、增加特征维度，从而消弭歧义。副作用是，多了一条独立的补充公理。此时，原有的n维公理体系变成了n＋1维。这样，既可以和原系统不冲突（一致性），又可以获得完备性。
简而言之，当一个形式逻辑体系出现上述悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的“递归”工具，不就完全化解所有矛盾了吗？罗素等数学家也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑推理递归n＋1维将其整合到数学的大厦中。
哈哈，魔高一尺，道高一丈；遇水架桥、逢山开路；见魔杀魔、遇佛拜佛；见招拆招，不费吹灰之力，何须忍气吞声。尖刻的悖论化解了，麻烦的刺头销声匿迹了，天边不和谐的乌云消散了，数学家又兴高采烈、趾高气昂、扬眉吐气。
在这样的方法下，能够解决的问题越来越多。数学的基础前所未有的稳固，数学的威力前所未有的强大，扩展的领域前所未有的广阔。
那必是迈向人类文明的康庄大道啊。
于是，数学大师们华山论剑中，一个又一个绝顶高手站了出来，雄心勃勃地宣称，当咱们把公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维…那么我们就可以建立一个包容万象无所不能的放之四海而皆准的无穷维度的公理体系。尽管无穷维公理体系听起来有些怪怪的，实际上自然数的的通常理论中，称为皮亚诺公理的就是这么样东西。
一切逻辑的幽灵、恶鬼、阴魔、怪兽、异形都必将被消灭。必须的，无穷维公理体系终将一统江湖，万世伟业的时代终于来临！！
“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）
不久后武林盟主希尔伯特发表《数学的基础》一文，提出数学史上闻名于世的“希尔伯特纲领”。
信心满满的希尔伯特心中的梦想就是建立一个囊括一切‘大一统’线性系统，然后通过这个系统自动计算出系统内各子系统的内在关联性、自动计算出大千世界的内在规律，那必然是人类认知的极大飞跃。
（无论什么难题，咱整台计算机演算演算不就搞定了嘛，so easy）
但是，蓦然回首、不堪往事。那一天，少侠哥德尔独孤一剑刺破天穹，让满怀憧憬的先辈们望天长啸黯然神伤…
难道无穷维度的公理体系都解决不了‘说谎者诡论’问题吗？
奇怪，欧几里得《几何原本》仅仅用区区10个公理就解决了全部几何学问题。形式逻辑都能扩展到无穷维度了，怎么还是不行呢？
怪！怪！怪！！！
这到底是为什么呢？
诡论？？？