ACM数论----唯一分解定理/算术基本定理

一.定理内容

任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1*P2^a2*P3^a3*......*Pn^an，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

性质：每个大于1的自然数N（非质数）均可以被分解且他们的分解形式是唯一的。

二.代码

（1）素数打表后分解

代码1：遍历所有素数，若有素数因子，则除尽该因子后继续遍历，直到该数字变为1

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000 + 7;
int prime[maxn],len,n,num;
int p[maxn],q[maxn];
bool judge[maxn];
void isPrime(){//素数打表
   len = 0;
   memset(judge,0,sizeof(judge));
   judge[1] = 1;
   for(int i = 2;i<=maxn;i++){
      if(!judge[i])prime[len++] = i;
      for(int j = 0;j<len;j++){
        if(i*prime[j]>maxn)break;
        judge[i*prime[j]] = 1;
        if(i%prime[j]==0)break;
      }
   }
}
void Split(int k){//分解
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(q,0,sizeof(q));
   for(int i = 0;i<len;i++){
      while(k%prime[i]==0){
         if(!p[num])p[num] = prime[i];
         q[num]++;
         k/=prime[i];
      }
      if(p[num])num++;
      if(k==1)break;//退出条件是变为1
   }
}
int main()
{
    isPrime();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        num = 0;
        Split(n);
        printf("%d = ",n);
        for(int i = 0;i<num;i++){
            if(i!=0)printf("*");
            printf("%d^%d",p[i],q[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

代码二：根据求因子条件，素数只枚举到prime[i]*prime[i]<=n ，最后若n>1就说明还剩下一个一次方的素数

原因：

若n%prime[i]==0，则n = prime[i] * q ，然后我们把n里面的prime[i]因子除尽以后，n = 1*k ， n就变成了一个新的数字，因为我们的素数枚举是从小到大的，小的除尽了，如果k是一个合数，那么肯定能拆成素数乘积，而且这个素数是肯定>prime[i]的，也一定满足prime[j]*prime[j] <=n是能继续拆的；另一方面，如果只剩下一个素数，就不会满足prime[j]*prime[j]<=n了，所以这种方法是可行的。

void Split(int k){
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(q,0,sizeof(q));
   for(int i = 0;i<len&&prime[i]*prime[i]<=k;i++){//判断条件变化
      while(k%prime[i]==0){
         if(!p[num])p[num] = prime[i];
         q[num]++;
         k/=prime[i];
      }
      if(p[num])num++;
   }
   if(k>1){p[num] = k;q[num++]++;}//结尾判断
}

（2）直接分解法（不用素数打表）

void Split(int k){
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(q,0,sizeof(q));
   for(int i = 2;i*i<=k;i++){
      while(k%i==0){
        if(!p[num])p[num] = i;
        q[num]++;
        k/=i;
      }
      if(p[num])num++;
   }
   if(k>1){p[num] = k;q[num++]++;}
}

三.应用

（1）欧拉函数求互质：欧拉函数

（2）化大数运算为小数运算例UVA - 10375

组合数运算，优先考虑取模，但是此处直接运算没有取模，而且数量很大，因为保证输出结果不超过10^8，所以可以看出，结果不大但是中间运算过程中的乘阶会很大。

方法一：因为组合数分子与分母数量一致，我们直接乘一个，除一个。

方法二：利用唯一分解定理，把所有的数，拆分为小的素数，然后统一计算所有素数的乘积

代码：

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 10000 + 7;
int prime[maxn],er[maxn],len;
int p,q,r,s;
bool judge[maxn];
void isPrime(){//筛素数
  memset(judge,0,sizeof(judge));
  judge[1] = 1;
  len = 0;
  for(int i = 2;i<maxn;i++){
      if(!judge[i])prime[len++] = i;
      for(int j = 0;j<len;j++){
        if(i*prime[j]>=maxn)break;
        judge[i*prime[j]] = 1;
        if(i%prime[j]==0)break;
      }
  }
}
void addPrime(int n,int d){
   int ans = n;
   for(int i = 0;i<len;i++){//分解
      while(ans%prime[i]==0){
         er[i]+=d;//er保留所有素数的指数
         ans/=prime[i];
      }
      if(ans==1)break;
   }
}
void addMultiply(int n,int d){//(N!)^d
   for(int i = 2;i<=n;i++){
       addPrime(i,d);
   }
}
int main()
{
    isPrime();
    while(scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&s)!=EOF){
        memset(er,0,sizeof(er));
        addMultiply(p,1);
        addMultiply(q,-1);
        addMultiply(p-q,-1);
        addMultiply(r,-1);
        addMultiply(s,1);
        addMultiply(r-s,1);
        double num = 1;
        for(int i = 0;i<len;i++){
            num*=pow(prime[i],er[i]);
        }
        printf("%.5lf\n",num);
    }
    return 0;
}

ACM数论----唯一分解定理/算术基本定理

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