[Luogu P4173]残缺的字符串 ( 数论 FFT)

题面

传送门：洛咕

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Solution

这题我写得脑壳疼，我好菜啊

好吧，我们来说正题。
这题.....emmmmmmm
显然KMP类的字符串神仙算法在这里没法用了。

那咋搞啊（或者说这题和数学有半毛钱关系啊）
我们考虑把两个字符相同强行变为一个数学关系，怎么搞呢？
考虑这题是带通配符的，我们可以这样设:
\(C(x,y)=(A[x]-B[y])^2*A[x]*B[y]\)
因此，我们可以看出两个字符一样当且仅当\(C(x,y)=0\)

因此，我们再设一个函数\(P(x)\)表示\(B\)串以第\(x\)项为结尾的长度为\(m\)的子串是否与\(A\)串匹配，显然有：
\(P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}C(i,x-m+i+1)\)
\(P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(A[i]-B[x-m+i+1])^2*A[i]*B[x-m+i+1]\)

后面那个式子写的太蛋疼了，我们把\(x-m+i+1\)设为\(j\)吧。
\(P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}(A[i]-B[j])^2*A[i]*B[j]\)

大力展开得：
\(P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}A[i]^3B[j]-2A[i]^2B[j]^2+A[i]B[j]^3\)

然后.....我们试着把\(\sum\)展开？
\(P(x)=\sum_{i=0}^{m-1}A[i]^3B[j]-\sum_{i=0}^{m-1}2A[i]^2B[j]^2+\sum_{i=0}^{m-1}A[i]B[j]^3\)

还是没法算啊......
诶，等下，如果我们把\(A\)串反转为\(A'\),肯定有\(A[i]=A'[m-i-1]\)
然后这个\((m-i-1)+(j)\)......不就是等于\(x\)嘛。
所以说我们马上就有：
\(P(x)=\sum_{i+j=x}A[i]^3B[j]-\sum_{i+j=x}2A[i]^2B[j]^2+\sum_{i+j=x}A[i]B[j]^3\)

哦豁，卷积，搞定~
时间复杂度\(O(nlogn)\)

搞定个鬼，这题要做7次FFT，常数爆大，我卡不进去

还请各位dalao赐教。

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Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<complex>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=300000+100;
const int N=M*4;
const double PI=acos(-1);
const double eps=1e-1;
typedef complex <double> cp;
cp omega(int K,int n)
{
    return cp(cos(2*PI*K/n),sin(2*PI*K/n));
}
inline void FFT(cp a[],int n,bool type)
{
    static int tmp[N],num=n-1,len;
    while(num!=0) num/=2,len++;
    for(int i=0,j;i<=n;i++)
    {
        for(j=0,num=i;j<len;j++)
            tmp[j]=num%2,num/=2;
        reverse(tmp,tmp+len);
        for(j=0,num=0;j<len;j++)
            num+=tmp[j]*(1<<j);
        if(i<num) swap(a[i],a[num]);
    }
    for(int l=2;l<=n;l*=2)
    {
        int m=l/2;
        cp x0=omega(1,l);
        if(type==true) x0=conj(x0);
        for(int i=0;i<n;i+=l)
        {
            cp x(1,0);
            for(int j=0;j<m;j++,x*=x0)
            {
                cp temp=x*a[i+j+m];
                a[i+j+m]=a[i+j]-temp;
                a[i+j]=a[i+j]+temp;
            }
        }
    }
}
char A[N],B[N];
int m,n,t=1;
cp S1[N],S2[N],S3[N],B1[N],B2[N],B3[N];
bool OK[N];
int main()
{
    scanf("%d%d%s%s",&m,&n,A,B);
    
    while(t<=(n+m)) t*=2;
    reverse(A,A+m); 
    for(int i=0;i<t;i++)
        A[i]=(A[i]=='*' or A[i]<'a' or A[i]>'z'?0:A[i]-'a'+1),
        B[i]=(B[i]=='*' or B[i]<'a' or B[i]>'z'?0:B[i]-'a'+1);
    for(int i=0;i<t;i++)
        S1[i]=A[i],S2[i]=A[i]*A[i],S3[i]=A[i]*A[i]*A[i];
    for(int i=0;i<t;i++)
        B1[i]=B[i],B2[i]=B[i]*B[i],B3[i]=B[i]*B[i]*B[i];
    FFT(S1,t,false);
    FFT(S2,t,false);
    FFT(S3,t,false);
    FFT(B1,t,false);
    FFT(B2,t,false);
    FFT(B3,t,false);
    
    for(int i=0;i<t;i++)
        S3[i]*=B1[i];
    for(int i=0;i<t;i++)
        S1[i]*=B3[i];
    for(int i=0;i<t;i++)
        S2[i]*=B2[i];
    for(int i=0;i<t;i++)
        S3[i]+=S1[i]-2.0*S2[i];
    FFT(S3,t,true);
    int cnt=0;
    for(int i=m-1;i<n;i++)
        if(fabs(S3[i].real()/t)<eps)
            OK[i]=true,cnt++;
    
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=m-1;i<n;i++)
        if(OK[i]==true)
            printf("%d ",i-m+1+1);
    return 0;
}