【数论】fft模板

在O(nlogn)时间内将系数表示多项式转化为点值表示，$n$个点确定一条$n-1$次的多项式曲线，后者可以O(n)时间内完成高精度乘法。

而这$n$个点的取法是有讲究的，均匀取自复平面的单位圆，对，将$x$的取值扩展到复数域，这些点也称为单位根，定义为${\omega }_n^k=cos(\frac{k}{n}2\pi )+isin(\frac{k}{n}2\pi )$，默认$n$为2的整数次幂。

直接将这些特殊的点作为x代入计算多项式的时间复杂度是$O(n^2)$的，而本文主角fft通过分治的技巧将复杂度降为$O(nlogn)$。

对于多项式$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...a_{n-1}{x}^{n-1}$，
将项根据下标的奇偶性分别为两部分，
$A(x)=(a_0+a_2{x}^2+...+a_{n-2}{x}^{n-2})+x(a_1+a_3{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-2})$,
设$A_1(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+...+a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1}$,
$A_2(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1}$,
则可以写成$A(x)=A_1(x^2)+x{A}_2(x^2)$,
设$k<\frac{n}{2}$，将${\omega }_n^k$作为$x$代入$A(x)$，利用
单位根的性质，得
$A({\omega }_n^k)$
$=A_1(({\omega }_n^k{)}^2)+{\omega }_n^k{A}_2(({\omega }_n^k{)}^2)$
$=A_1({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_n^{2k})$
$=A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$，
同理代入${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}$得到
$A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$，

以上两个多项式后一项仅有符号不同，因此，已知$A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$和$A_2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$可以推出$A({\omega }_n^k)$和$A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})$。进一步，可以通过递归分治实现fft，，将序列根据奇偶性分为两部分分别处理，回溯时通过上述两个关系求出序列。

代码模板

struct Complex
{
    
    
    double x, y;
    Complex(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {
    
    }
} a[N], b[N];
Complex operator + (Complex a, Complex b) {
    
    
    return Complex(a.x + b.x, a.y + b.y);
}
Complex operator - (Complex a, Complex b) {
    
    
    return Complex(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
Complex operator * (Complex a, Complex b) {
    
    
    return Complex(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + b.x * a.y);
}

void fft(Complex *a, int n, int inv) {
    
    
    if (n == 1) return;
    int mid = n / 2;
    static Complex tmp[N];
    for (int i = 0; i < mid; i++) {
    
    
        tmp[i] = a[i * 2];
        tmp[i + mid] = a[i * 2 + 1];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = tmp[i];
    fft(a, mid, inv), fft(a + mid, mid, inv);
    // 默认n为2的次幂
    for(int i = 0; i < mid; i++) {
    
    
        Complex x(cos(2 * pi * i / n), inv * sin(2 * pi * i / n));
        tmp[i] = a[i] + x * a[i + mid];
        tmp[i + mid] = a[i] - x * a[i + mid];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = tmp[i];
}

void solve() {
    
    
    int n, m;   // 这里是次数
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
    
     scanf("%lf", &a[i].x); }
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
    
     scanf("%lf", &b[i].x); }
    int k = 1;
    while (k <= 2 * max(n, m)) {
    
     k *= 2; }
    // printf("k=%d\n", k);

    // 将n调整为2的整数次幂(用k表达)
    fft(a, k, 1), fft(b, k, 1);
    for (int i = 0; i < k; i++) a[i] = a[i] * b[i];
    fft(a, k, -1);
    for (int i = 0; i <= (n + m); i++) {
    
     // 最终是(n+m+1)项
        printf("%d ", (int)(a[i].x / k + 0.5));
    }   printf("\n");
}

坑，循环优化写法。

reference
十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）
FFT模板-附详细注释