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【思路要点】
- 考虑无问号的情况,分为两种:
、 ,那么 和 取任意字符串均可,贡献为 。
、 ,那么要求 和 均具有一个长度为 的周期,此周期不需要为整周期,也不需要是最小周期,并且要求填入 和 后 。可以证明,上述条件是 合法的充要条件。
假设 中有 个 , 个 , 中有 个 , 个 ,则 。
因此,该情况的贡献为 。- 分几类讨论一下:
、 ,那么贡献为 。
、 ,那么 无正整数解,贡献为 。
、否则我们可以得到一个形如 的关系,贡献为 。- 因此,适当地预处理后,我们可以 处理无问号的情况。
- 考虑枚举 中各有多少问号变为了 ,用组合数计算系数,可以得到一个 的解法。
- 注意到计算贡献时,我们只关心 ,因此我们也可以只枚举 中变为 的问号比 中变为 的问号多几个。记 中问号个数为 , 中问号个数为 ,则 中变为 的问号比 中变为 的问号多 个的方案数为 。
- 注意考虑文章开头提到的 的情况。
- 时间复杂度 。
【代码】
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 6e5 + 5; const int P = 1e9 + 7; template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); } template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } template <typename T> void read(T &x) { x = 0; int f = 1; char c = getchar(); for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f; for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0'; x *= f; } template <typename T> void write(T x) { if (x < 0) x = -x, putchar('-'); if (x > 9) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0'); } template <typename T> void writeln(T x) { write(x); puts(""); } int fac[MAXN], inv[MAXN], bit[MAXN]; int n, sa, sb, sq, ta, tb, tq, ans; int arbitrary, valueg, lim[MAXN], miu[MAXN]; char s[MAXN], t[MAXN]; int power(int x, int y) { if (y == 0) return 1; int tmp = power(x, y / 2); if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P; else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P; } void update(int &x, int y) { x += y; if (x >= P) x -= P; } int getc(int x, int y) { if (y > x) return 0; else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P; } void gets(char *s, int &a, int &b, int &q) { scanf("%s", s + 1); int len = strlen(s + 1); for (int i = 1; i <= len; i++) if (s[i] == 'A') a++; else if (s[i] == 'B') b++; else q++; } void init(int n) { fac[0] = bit[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P; bit[i] = 2ll * bit[i - 1] % P; } inv[n] = power(fac[n], P - 2); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P; } void solve(int x, int y, int coef) { if (x == 0 && y == 0) update(ans, 1ll * coef * valueg % P); if (1ll * x * y >= 0) return; x = abs(x), y = abs(y); int g = __gcd(x, y); x /= g, y /= g; if (x > y) swap(x, y); update(ans, 1ll * lim[y] * coef % P); } void equal(int len) { int coef = 1; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (s[i] != '?' && t[i] != '?' && s[i] != t[i]) return; if (s[i] == '?' && t[i] == '?') coef = 2ll * coef % P; } update(ans, 1ll * coef * arbitrary % P); update(ans, P - 1ll * coef * valueg % P); } int getmiu(int x) { int i = 2, ans = 1; while (i * i <= x) { if (x % i == 0) { x /= i; if (x % i == 0) return 0; ans = P - ans; } i++; } if (x != 1) ans = P - ans; return ans; } void calcconsts() { for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; i * j <= n; j++) update(lim[i], bit[j]); int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) update(sum, bit[i]); for (int i = 1; i <= n; i++) update(arbitrary, 1ll * sum * bit[i] % P); for (int i = 1; i <= n; i++) miu[i] = getmiu(i); for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; i * j <= n; j++) update(valueg, 1ll * bit[i] * miu[j] % P * (n / i / j) % P * (n / i / j) % P); } int main() { freopen("string.in", "r", stdin); freopen("string.out", "w", stdout); init(6e5); gets(s, sa, sb, sq); gets(t, ta, tb, tq); read(n), calcconsts(); for (int i = -tq; i <= sq; i++) solve(sa - ta + i, sb + sq - i - tb - tq, getc(tq + sq, i + tq)); if (sa + sb + sq == ta + tb + tq) equal(sa + sb + sq); writeln(ans); return 0; }