【省内训练2018-12-23】Counting

【思路要点】

问题等价于求不定方程 $\sum_{i=1}^{N}a_ix_i=C$ 的非负整数解的数量。

考虑将 $C,x_i$ 用二进制表示，我们从高位向低位依次决策 $x_i$ 的某一位是否为 $1$ 。

假设当前决策的是第 $i$ 位，那么当前决策的 $\sum_{i=1}^{N}a_ix_i$ 应当为 $2^{i+1}$ 的倍数，并且剩余的尚未决策的位置上即使全部为 $1$ ，其总和也不会超过 $2*2^i*\sum_{i=1}^{N}a_i$ 。

因此，记 $dp_{i,j,k}$ 表示决策到第 $i$ 位，第 $j$ 个数， $\lfloor\frac{C-\sum_{i=1}^{N}a_ix_i}{2^i}\rfloor=k$ 的方案数，由上面的推理， $k>2*\sum_{i=1}^{N}a_i$ 的状态不会对答案产生贡献，不计之。

时间复杂度 $O(N^2*Max\{s_i\}*LogC)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 55;
const int MAXM = 505;
const int MAXS = 5e4 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
char s[MAXM];
int n, m, a[MAXN], bits[MAXM];
int dp[2][MAXN][MAXS];
void convert() {
	int len = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= len; i++)
		s[i] = s[i] - '0';
	reverse(s + 1, s + len + 1);
	while (len != 0) {
		bits[++m] = s[1] & 1, s[1] -= bits[m];
		for (int i = len; i >= 1; i--) {
			if (s[i] & 1) s[i - 1] += 10;
			s[i] /= 2;
		}
		while (len && s[len] == 0) len--;
	}
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int main() {
	freopen("counting.in", "r", stdin);
	freopen("counting.out", "w", stdout);
	scanf("%d %s", &n, s + 1);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(a[i]), sum += a[i];
	convert();
	dp[m & 1][0][1] = 1;
	for (int i = m, now = m & 1, dest = now ^ 1; i >= 1; i--, swap(now, dest)) {
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		for (int k = 0; k <= 2 * sum; k++) {
			update(dp[now][j][k], dp[now][j - 1][k]);
			if (k + a[j] <= 2 * sum) update(dp[now][j][k], dp[now][j - 1][k + a[j]]);
		}
		memset(dp[dest], 0, sizeof(dp[dest]));
		for (int k = 0; k <= sum; k++)
			if (k * 2 + bits[i - 1] <= 2 * sum) update(dp[dest][0][k * 2 + bits[i - 1]], dp[now][n][k]); 
	}
	printf("%d\n", dp[1][n][0]);
	return 0;
}

【省内训练2018-12-23】Counting

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