【省内训练2018-11-25】Decomposition

【思路要点】

考虑计算每一个数的贡献，即枚举一个数 $i$ ，计算其在多少划分中出现过。

计算数 $i$ 在多少划分中出现过可以使用容斥原理。

则有 $Ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}f(N-ij,M-j)$ 。

其中 $f(x,y)$ 表示将 $x$ 划分为 $y$ 个正整数的和的方案数，有 $f(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl}\binom{x-1}{y-1}&&{y\ne0}\\ [x=0]&&{y=0}\end{array} \right.$ 。

将上式交换求和顺序，有 $Ans=\sum_{j=1}^{M}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}\sum_{i=1}^{N}f(N-ij,M-j)$ 。

展开 $f(x,y)$ ，有 $Ans=[N\ mod\ M=0]*(-1)^{M-1}+\sum_{j=1}^{M-1}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}\sum_{i=1}^{N}\binom{N-ij-1}{M-j-1}$ 。

注意到 $\sum_{i=1}^{N}\binom{N-ij-1}{M-j-1}$ 形如 $\sum_{i=1}^{N}\binom{ai+b}{c}$ ，是一个 $c$ 次多项式在 $1$ 至 $N$ 处的点值和，可以表示为一个 $c+1$ 次多项式在 $N$ 处的点值。

拉格朗日插值即可，注意我们只需求出其在 $N$ 处的点值，可以在 $O(M)$ 的时间内完成。

时间复杂度 $O(M^2)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e6 + 5;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
ll n; int m;
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int getc(int x, int y) {
	if (y > x) return 0;
	else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void init(int n) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[n] = power(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
}
int getans(ll b, int k, int c) {
	static int val[MAXN];
	ll n = (b - c) / k; b -= (n + 1) * k;
	for (int i = 1; i <= m + 5; i++)
		val[i] = (val[i - 1] + getc(b + i * k, c)) % P;
	if (n <= m + 5) return val[n];
	int ans = 0, x = n % P;
	static int pre[MAXN], suf[MAXN];
	pre[0] = suf[m + 6] = 1;
	for (int i = 1; i <= m + 5; i++)
		pre[i] = 1ll * pre[i - 1] * (x - i + P) % P;
	for (int i = m + 5; i >= 1; i--)
		suf[i] = 1ll * suf[i + 1] * (x - i + P) % P;
	for (int i = 1; i <= m + 5; i++) {
		int coef = 1ll * inv[i - 1] * inv[m + 5 - i] % P;
		if ((m + 5 - i) & 1) coef = (P - coef) % P;
		update(ans, 1ll * val[i] * coef % P * pre[i - 1] % P * suf[i + 1] % P);
	}
	return ans;
}
int main() {
	read(n), read(m);
	init(m * (m + 5));
	int ans = (n % m == 0) * power(P - 1, m - 1);
	for (int i = 1, c = 1; i <= m - 1; i++, c = P - c) {
		int mul = 1ll * c * getc(m, i) % P;
		update(ans, 1ll * mul * getans(n - 1, i, m - i - 1) % P);
	}
	writeln(ans);
	return 0;
}

【省内训练2018-11-25】Decomposition

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