方差分析与正交试验设计(四)

单因素方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A(组间)	${ Q }_{ A }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ { n }_{ i }{ (\bar { { x }_{ i } } -\bar { x } ) }^{ 2 } }$	r-1	$\bar { { Q }_{ A } } =\frac { { Q }_{ A } }{ r-1 }$	$F=\frac { \bar { { Q }_{ A } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
误差E(组内)	${ Q }_{ E }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ { n }_{ i } }{ { ({ x }_{ ij }-\bar { { x }_{ i } } ) }^{ 2 } } }$	n-r	$\bar { { Q }_{ E } } =\frac { { Q }_{ E } }{ n-r }$
总和	${ Q }_{ T }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ { n }_{ i } }{ { ({ x }_{ ij }-\bar { x } ) }^{ 2 } } }$	n-1

r为类型数
F与 ${ F }_{ \alpha }(r-1,n-r)$比较

双因素等重复试验的方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A	${ Q }_{ A }=sl\sum _{ i=1 }^{ r }{ { (\bar { { X }_{ i.. } } -\bar { X } ) }^{ 2 } }$	r-1	$\bar { { Q }_{ A } } =\frac { { Q }_{ A } }{ r-1 }$	${ F }_{ A }=\frac { \bar { { Q }_{ A } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
因素B	${ Q }_{ B }=rl\sum _{ j=1 }^{ s }{ { (\bar { { X }_{ .j. } } -\bar { X } ) }^{ 2 } }$	s-1	$\bar { { Q }_{ B } } =\frac { { Q }_{ B } }{ s-1 }$	${ F }_{ B }=\frac { \bar { { Q }_{ B } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
交互作用	${ Q }_{ I }=l\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ s }{ { (\bar { { X }_{ ij. } } -\bar { { X }_{ i.. } } -\bar { { X }_{ .j. } } -\bar { X } ) }^{ 2 } } }$	(r-1)(s-1)	$\bar { { Q }_{ I } } =\frac { { Q }_{ I } }{ (r-1)(s-1) }$	${ F }_{ I }=\frac { \bar { { Q }_{ I } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
误差	${ Q }_{ E }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ s }{ \sum _{ k=1 }^{ l }{ { ({ X }_{ ijk }-\bar { { X }_{ ij. } } ) }^{ 2 } } } }$	rs(l-1)
总和	${ Q }_{ T }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ s }{ \sum _{ k=1 }^{ l }{ { ({ X }_{ ijk }-\bar { { X } } ) }^{ 2 } } } }$	rsl-1

s是横向因素个数,r是纵向因素个数,l是重复试验次数

双因素无重复试验的方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
因素A	${ Q }_{ A }=s\sum _{ i=1 }^{ r }{ { (\bar { { X }_{ i. } } -\bar { X } ) }^{ 2 } }$	r-1	$\bar { { Q }_{ A } } =\frac { { Q }_{ A } }{ r-1 }$	${ F }_{ A }=\frac { \bar { { Q }_{ A } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
因素B	${ Q }_{ B }=r\sum _{ j=1 }^{ s }{ { (\bar { { X }_{ .j } } -\bar { X } ) }^{ 2 } }$	s-1	$\bar { { Q }_{ B } } =\frac { { Q }_{ B } }{ s-1 }$	${ F }_{ B }=\frac { \bar { { Q }_{ B } } }{ \bar { { Q }_{ E } } }$
误差	${ Q }_{ E }=\sum _{ i=1 }^{ r }{ \sum _{ j=1 }^{ s }{ { ({ X }_{ ij }-\bar { { X }_{ i. } } -\bar { { X }_{ .j } } +\bar { X } ) }^{ 2 } } }$	(r-1)(s-1)	$\bar { { Q }_{ E } } =\frac { { Q }_{ E } }{ (r-1)(s-1) }$
总和	${ Q }_{ T }=\sum _{ i=1 }^{ r }{{ \sum _{ j=1 }^{ s }{ { ({ X }_{ ij }-\bar { { X } } ) }^{ 2 } } } }$	rs-1

正交试验设计

正交表

${ L }_{ n }({ s }_{ 1 }\times { s }_{ 2 }\times \cdots \times { s }_{ r })$
其中n是正交表的行数,代表正交试验的次数,r是可以安排的列数,s是每列中因素的水平数
例: ${ L }_{ 8 }({ 2 }^{ 7 })$代表有7列,每列的元素水平数是2,一共进行8次试验.

试验结果直观分析

极差 ${T}_{ij}$i代表因素的某个水平,j代表因素列,即第j列上i元素的指标(y)的和
${R}_{j}$是j列不同元素的极差
可以用 ${R}_{j}$排出主次顺序, ${R}_{j}$越大代表越重要,影响越大.
最优实验条件,是根据主次顺序,排列出各列根据不同要求得到的实验条件.

实验结果方差分析

方差来源	平方和	自由度	均方和	F值
A	${Q}_{A}$	${f}_{A}$	${Q}_{A}/{f}_{A}$	${F}_{A}=\frac{{Q}_{A}/{f}_{A}}{{Q}_{e}/{f}_{e}}$
B	${Q}_{B}$	${f}_{B}$
C	${Q}_{C}$	${f}_{C}$
A×B	${Q}_{A×B}$	${f}_{A×B}$
误差e	${Q}_{e}$	${f}_{e}$
总和T	${Q}_{T}$	n-1

其中 ${Q}_{T}$= ${Q}_{A}$+…+ ${Q}_{e}$
${Q}_{T}=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { ({ y }_{ i }-\bar { y } ) }^{ 2 } }$
${Q}_{j}=\frac { { S }_{ j } }{ n } \sum _{ i=1 }^{ { S }_{ j } }{ { T }_{ ij }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ n } { (\sum _{ i=1 }^{ { S }_{ j } }{ { T }_{ ij } } ) }^{ 2 }$
${Q}_{e}$= ${Q}_{T}$-其他
和 ${ F }_{ \alpha }({ f }_{ I },{ f }_{ e })比较$