行列式有关性质

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1. 行列式的性质

• 行列式与它转置行列式相等
• 对换行列式的两行(列),行列式变号

• 推论:如果有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
• 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数 $k$,等于用数 $k$乘此行列式
  • 推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子以提到行列式记号的外面
• 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零
• 若行列式中的某一行(列都是两数之和),例如第 $i$行的元素都是两数之和:
  $D=\begin{vmatrix} a_{11} & a{12} & ... & a_{1n} \\ ...&...&...&...\\ a_{i1}+a_{i1}'&a_{i2}+a_{i2}'&...&a_{in}+a_{in}'\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$

则D等于下列两个行列式之和
$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ ...&...&...&...\\ a_{i1}'&a_{i2}'&...&a_{in}'\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$

• 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一行加到另一行(列)对应元素上去,行列式不变

2. 引理

一个 $n$阶行列式,如果其中第 $i$行所有元素除 $(i,j)$外都为零,那么这个行列式等于 $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积即
$D=a_{ij}A_{ij}$

3. 定理:行列式展开法则

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} ,(i=1,2,...,n)$
$D=a_{ij}A_{ij}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} , (j=1,2,...,n)$

4. 推论

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
即
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j$
$a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{j2}+...+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j$