树的基本概念
根：树的顶端结点
兄弟：具有同一个双亲(Parent)的孩子(Child)之间互称为兄弟(Sibling)。
祖先：结点的祖先(Ancestor)是从根（Root）到该结点所经分支(Branch)上的所有结点。
叶子（终端结点）：没有孩子的结点(也就是度为0的结点)称为叶子(Leaf)或终端结点。
度：结点所拥有的子树个数称为结点的度(Degree)。
边：一个结点和另一个结点之间的连接被称之为边(Edge)。
层次：结点的层次(Level)从根(Root)开始定义起，根为第0层，根的孩子为第1层。
路径：连接结点和其后代的结点之间的(结点,边)的序列。
结点的高度：结点的高度是该结点和某个叶子之间存在的最长路径上的边的个数。
树的高度：树的高度是其根结点的高度。
结点的深度：结点的深度是从树的根结点到该结点的边的个数。（注：树的深度指的是树中结点的最大层次。）
森林：森林是n(>=0)棵互不相交的树的集合。
二叉树（Binary Search Tree）
定义：每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
二叉树的性质：
- 若二叉树的层次从0开始，则在二叉树的第i层至多有2^i个结点(i>=0)。
- 高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)。 (空树的高度为-1)高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)。 (空树的高度为-1)
- 对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1。对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1。
B树
B树的结构要求：
1）根节点至少有两个子节点
2）每个节点有M-1个key，并且以升序排列
3）位于M-1和M key的子节点的值位于M-1 和M key对应的Value之间
4）其它节点至少有M/2个子节点
5）所有叶子节点都在同一层
查询
以上图为例：若查询的数值为５：
第一次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与17、35比较），比17小，左子树；
第二次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与８、12比较），比８小，左子树；
第三次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与3、5比较），找到5，终止。
整个过程中：比较的次数并不比二叉查找树少，尤其适当某一节点中的数据很多时，但是磁盘IO的次数却是大大减少。比较是在内存中进行的，相比于磁盘IO的速度，比较的耗时几乎可以忽略。所以当树的高度足够低的话，就可以极大的提高效率。相比之下，节点中的元素多点也没关系，仅仅是多了几次内存交互而已，只要不超过磁盘页的大小即可。
B+树
B+树是B树的升级版本，有着比Ｂ树更高的查询效率，也是一种多路搜索树：
- 其定义基本与B-树同，除了：
- 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
- 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
- 为所有叶子结点增加一个链指针；
- 所有关键字都在叶子结点出现；
查找
首先，Ｂ＋树的查找和Ｂ树一样，类似于二叉查找树。起始于根节点，自顶向下遍历树，选择其分离值在要查找值的任意一边的子指针。在节点内部典型的使用是二分查找来确定这个位置。
不同的是：
- Ｂ＋树中间节点没有卫星数据（索引元素所指向的数据记录），只有索引，而Ｂ树每个结点中的每个关键字都有卫星数据；这就意味着同样的大小的磁盘页可以容纳更多节点元素，在相同的数据量下，Ｂ＋树更加“矮胖”，ＩＯ操作更少。
B树的卫星数据：
B+树的卫星数据：
需要补充的是，在数据库的聚集索引（Clustered Index）中，叶子节点直接包含卫星数据。在非聚集索引（NonClustered Index）中，叶子节点带有指向卫星数据的指针。 - 因为卫星数据的不同，导致查询过程也不同；Ｂ树的查找只需找到匹配元素即可，最好情况下查找到根节点，最坏情况下查找到叶子结点，所说性能很不稳定，而Ｂ＋树每次必须查找到叶子结点，性能稳定
- 在范围查询方面，B+树的优势更加明显：B树的范围查找需要不断依赖中序遍历。首先二分查找到范围下限，在不断通过中序遍历，知道查找到范围的上限即可。整个过程比较耗时。
而B+树的范围查找则简单了许多。首先通过二分查找，找到范围下限，然后同过叶子结点的链表顺序遍历，直至找到上限即可，整个过程简单许多，效率也比较高。
例如：同样查找范围[3-11]，两者的查询过程如下：
B树的查找过程：
B+树的查找过程：
B*树
接下来要说明的就是B树，B树是对B+树进行的又一次的升级。在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；
在这比如说当你进行插入节点的时候，它首先是放到兄弟节点里面。如果兄弟节点满了的话，进行分裂的时候从兄弟节点和这个节点各取出1/3，放入新建的节点当中，这样也就实现了空间利用率从1/2到1/3。
MySQL的索引
什么是索引？
首先索引引入的目的是为了快速查询以及更新表中的数据。索引是一种存储在硬盘上的，对数据库表中一列或多个列进行排序的数据结构。
索引是一个单独存储在磁盘上的数据库结构，它们包含着对数据表里所有记录的引用指针，使用索引可以提高数据库特定数据的查询速度.索引时在存储引擎中实现的，因此每种存储引擎的索引不一定完全相同,并且每种存储引擎也不一定支持所有索引类型.
为什么不用二叉搜索树
一句话：因为磁盘IO问题。之前说过，索引是存储在磁盘上的，对数据库表中一列或多列进行排序的数据结构。数据库中的数据可能很大，在大量的数据存储在磁盘上时。计算机无法一次性将数据全部加载进内存。而是通过逐一加载每一磁盘页。而加载磁盘页对应着索引树的节点。那么一次查找所经历的索引树的深度对应着磁盘IO交互的次数。如果采取二叉树结构，那么显而易见，可能导致遍历的深度太大导致磁盘IO交互的次数太多。而相较于内存查询，磁盘IO才是影响查询以及更新表中数据的关键。那么由二叉树这样的瘦长结构自然容易联想到如何将它变的矮胖。这样做虽然没有降低比较次数，由于深度的降低，可以极大的减少磁盘IO次数。从而可以提升查询以及更新数据的性能。
B树相较于二叉搜索树的中序遍历，没有减少多少，甚至一点都没有减少，不过降低了磁盘IO的次数。对于提高索引查询以及更新数据来说。这就足够了，毕竟磁盘IO才是影响性能的关键。
b+树相比于b树的查询优势：
- b+树的中间节点不保存数据，所以磁盘页能容纳更多节点元素，更“矮胖”；
- b+树查询必须查找到叶子节点，b树只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+树查找更稳定（并不慢）；
- 所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询，b+树只需遍历叶子节点链表即可，b树却需要重复地中序遍历。
为什么说B±tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
B+tree的磁盘读写代价更低：B+tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针(红色部分)，因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多，相对来说IO读写次数也就降低了；
B+tree的查询效率更加稳定：由于内部结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引，所以，任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当；
数据库索引采用B+树而不是B树的主要原因：B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树只能中序遍历所有节点，效率太低。
文件索引和数据库索引为什么使用B+树?
文件与数据库都是需要较大的存储，也就是说，它们都不可能全部存储在内存中，故需要存储到磁盘上。而所谓索引，则为了数据的快速定位与查找，那么索引的结构组织要尽量减少查找过程中磁盘I/O的存取次数，因此B+树相比B树更为合适。数据库系统巧妙利用了局部性原理与磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页，这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入，而红黑树这种结构，高度明显要深的多，并且由于逻辑上很近的节点(父子)物理上可能很远，无法利用局部性。最重要的是，B+树还有一个最大的好处：方便扫库。B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持，这是数据库选用B+树的最主要原因