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定义：
欧拉回路：每条边只经过一次，而且回到起点
欧拉图:具有欧拉回路的图
欧拉路径：每条边只经过一次，不要求回到起点
半欧拉图:具有欧拉通路而无欧拉回路的图
判定：
欧拉回路的判定
无向图：连通（不考虑度为 0 的点），每个顶点度数都为偶数。
有向图：基图连通（把边当成无向边，同样不考虑度为 0 的点），每个顶点出度等于入度。
混合图（有无向边和有向边）：首先是基图连通（不考虑度为 0 的点），然后需要借助网络流（后续再补）
欧拉路径的判断：
无向图：连通（不考虑度为 0 的点），只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
有向图：基图连通（把边当成无向边，同样不考虑度为 0 的点），每个顶点出度等于入度或 者有且仅有一个点的出度比入度多 1，有且仅有一个点的出度比入度少 1，其余出度等于入 度。
混合图：如果存在欧拉回路，一点存在欧拉路径了。否则如果有且仅有两个点的（出度 -入 度）是奇数，那么给这个两个点加边，判断是否存在欧拉回路。
欧拉图一般有两种求法模板：
Fleury（佛罗莱）算法（这里没有，没有题用到（做到的）），并查集和递归（打印路径）
并查集一般用来确定图是否连通，然后根据度来判断是否存在欧拉图，递归用来输出路路径，
但递归打印路径时候需要注意：必须先确定里面有欧拉路径，欧拉回路直接打印即可，欧拉通路需要找到起点
判断无向图是否为欧拉图并输出路径
欧拉回路：连通（不考虑度为 0 的点），每个顶点度数都为偶数。
欧拉通路：连通，只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)
1:图连通:用并查集判断
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1000
using namespace std;
int n, m;
int f[N],degree[N];//记录第i点的度数
void init()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i] = i;
}
int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
int t1, t2;
t1 = find(x); t2 = find(y);
if (t1 != t2) f[t2] = t1;
else return;
}
int isEuler()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (degree[i] & 1) return 0;
return 1;
}
int isconnect()
{
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (f[i] == i)
cnt++;
}
if (cnt == 1) return 1;
else return 0;
}
int main()
{
while (scanf("%d", &n) != EOF && n)
{
init();
memset(degree, 0, sizeof(degree));
scanf("%d", &m);
int t1, t2;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d", &t1, &t2);
//输入有t1，t2相等的情况
if (t1 == t2)
continue;
degree[t1]++; degree[t2]++;
merge(t1, t2);
}
printf("%d\n", isEuler() && isconnect());
}
return 0;
}
输出路径
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<sstream>
#include<queue>
#define ll long long
#define PI 3.1415926535897932384626
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=6000;
struct Edge
{
int to,next,id;
bool flag;
}edge[maxn];
int head[maxn];
int in[maxn];
int tot;
void addedge(int u,int v,int w)
{
edge[tot].to=v;
edge[tot].next=head[u];
edge[tot].id=w;
edge[tot].flag=false;
head[u]=tot++;
}
int start;
vector<int>ans;
void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(in,0,sizeof(in));
}
void dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
if(!edge[i].flag)
{
edge[i].flag=true;
edge[i^1].flag=true;
dfs(edge[i].to);
ans.push_back(i);//记录边的号码
}
}
}
int main()
{
int x,y,c;
while(scanf("%d%d",&x,&y))
{
if(x==0&&y==0)break;
init();
scanf("%d",&c);
addedge(x,y,c);
addedge(y,x,c);
in[x]++;
in[y]++;
start=min(x,y);
while(scanf("%d%d",&x,&y))
{
if(x==0&&y==0)break;
scanf("%d",&c);
addedge(x,y,c);
addedge(y,x,c);
in[x]++;
in[y]++;
}
int flag=1;
for(int i=1;i<=maxn;i++) //判断是否为欧拉回路
{
if(in[i]%2!=0){
flag=0;
break;
}
}
if(flag==0)
{
puts("Round trip does not exist.");
continue;
}
ans.clear();
dfs(start);
for(int i=0;i<ans.size();i++)
{
if(i==0)
printf("%d",edge[ans[i]].id);
else
printf(" %d",edge[ans[i]].id);
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
有向图判断并打印欧拉路径或回路
///有向图实现欧拉回路或通路的判断并输出字典序最小的路径
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<sstream>
#include<queue>
#define ll long long
#define PI 3.1415926535897932384626
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=2000;
struct Edge
{
int to,next,id;
bool flag;
}edge[maxn];
int head[maxn];
int tot;
void addedge(int u,int v,int w)
{
edge[tot].to=v;
edge[tot].id=w;
edge[tot].next=head[u];
edge[tot].flag=false;
head[u]=tot++;
}
int start,n;
int f[30],in[30],out[30];
vector<int>ans;
void init()
{
tot=0;
ans.clear();
for (int i = 1; i <= 26; i++)
f[i] = i;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(in,0,sizeof(in));
memset(out,0,sizeof(out));
}
int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
int t1, t2;
t1 = find(x); t2 = find(y);
if (t1 != t2) f[t2] = t1;
else return;
}
///判断是否存在欧拉通路径
///>=0:欧拉通路的起始位置
///-2：欧拉回路
///-1：无欧拉路劲
int isEluer() //判断是否存在欧拉通路径
{
int sum=0;
for(int i=0;i<26;i++) //保证是一个连通图
{
if((in[i]||out[i])&&find(i)==i)
sum++;
if(sum>=2)
return -1;
}
int ac=0,bc=0,pos=-1;
for(int i=0;i<26;i++)
{
if(in[i]==out[i]) continue;
if(in[i]==out[i]+1)
{
ac++;
continue;
}
if(in[i]==out[i]-1)
{
pos=i;
bc++;
continue;
}
return -1;
}
if(!ac&&!bc) return -2;
if(ac==1&&bc==1) return pos;
return -1;
}
void dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
if(!edge[i].flag)
{
edge[i].flag=true;
dfs(edge[i].to);
ans.push_back(i);//记录边的号码
}
}
}
string word[maxn];
void print()
{
for(int i=ans.size()-1;i>0;i--)
cout <<word[ans[i]]<< '.';
cout <<word[ans[0]] << endl;
}
bool cmp(const string a, const string b)
{
if(a[0]==b[0])
return a>b;
return a<b;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
init();
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>word[i];
}
sort(word,word+n,cmp);
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x,y;
x=word[i][0]-'a';
y=word[i][word[i].size()-1]-'a';
addedge(x,y,i);
merge(x,y);
in[y]++;
out[x]++;
}
int flag=isEluer();
if(flag==-1)
printf("***\n");
else if(flag==-2)
{
dfs(word[0][0]-'a');
print();
}
else
{
dfs(flag);
print();
}
}
return 0;
}
注解：算法进阶指南 上说求欧拉回来极其容易爆栈，建议使用非递归模板，题目待验证模板准确性（验证之后会更新），
非递归：
// 求出无向欧拉图中的一条欧拉回路
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int head[N], ver[N], Next[N], tot; // 邻接表
int stack[N], ans[N]; // 模拟系统栈，答案栈
bool vis[N];
int n, m, top, t;
void add(int x, int y) {
ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}
void euler() {
stack[++top] = 1;
while (top > 0) {
int x = stack[top], i = head[x];
// 找到一条尚未访问的边
while (i && vis[i]) i = Next[i];
// 沿着这条边模拟递归过程，标记该边，并更新表头
if (i) {
stack[++top] = ver[i];
head[x] = Next[i];
vis[i] = vis[i ^ 1] = true;
}
// 与x相连的所有边均已访问，模拟回溯过程，并记录于答案栈中
else {
top--;
ans[++t] = x;
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
tot = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y);add(y, x);
}
euler();
for (int i = t; i; i--) printf("%d\n", ans[i]);
}经典例题：
HDU 3018 Ant Trip (并查集:欧拉回路的问题)
HDU 1878 欧拉回路 (并查集：简单欧拉回路判定)
POJ 1041John's trip （ 无向图欧拉回路-路径输出）
POJ 1041John's trip （无向图欧拉回路-路径输出）
POJ 1386 Play on Words (判定有向图图欧拉路径是否存在)
POJ 1300 Door Man (无向图欧拉通路和回路的判定+并查集)