斐波拉契数列的实现和时间复杂度的分析算是一个难点，在考研数据结构中也经常会碰到，今天我们就来仔细分析下和解决掉这个问题。
1. 首先，我们先来看看递归形式斐波拉契数列的C语言实现：
# include<stdio.h>
int main(){
printf("%d",Fibonacci(5));
}
int Fibonacci(int n){
if(n==1 || n==2)
return 1;
else{
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
}
值得注意的是，判断语句为什么要这么写，首先我们要明确递归肯定是要有出口的，不然就会无限开辟空间–直接爆炸！！，那么这里的出口为什么是判断n=1或者n=2呢，是因为斐波拉契数列的特殊性质所决定
第一个是斐波拉契数列的前几项分别是0 1 1 2 这样的，所以在编程的时候我们根据数组的设计模式，设计第0项为0，从第一项开始为1。
第二个是斐波拉契数列是需要前两项相加的，而f(1)=f(0)+f(-1),这肯定是不行的对吧，f(2)=f(1)+f(0),f(0)是没有被定义的，所有我们需要手动返回1，这就是判断语句这样设置的由来。当然其实我个人认为，也许这样定义斐波拉契函数会更加易懂：
# include<stdio.h>
int main(){
printf("%d",Fibonacci(0));
}
int Fibonacci(int n){
if(n==0){
return 0;
}
if(n==1 || n==2)
return 1;
else{
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
}
2. 时间复杂度分析：
先看看一般递归法的时间复杂度分析模式：
递归函数的时间复杂度分析一般是采用递推法来实现。
例如求阶乘的算法的时间复杂度分析：
int fac(int n)/*递归函数*/
{
if (n < 0)
printf("n<0,data error!");
else
if (n == 0 || n == 1)
return 1;
else
return f(n - 1) * n;
}
这就是递归分析法，注意上面我们假定 1为 执行了一次函数调用语句，这种方法常用于分析递归算法，记住它的使用很重要
好了，现在我们同样使用这种方法来分析斐波拉契实现算法的时间复杂度：
可以看到，我们初步的分析出了其时间复杂度为O(2^n),可以说明其确实时间复杂度是成指数倍增长的，所以我们还是要尽量少使用它。
所以总结一下，对于递归算法的时间复杂度分析，关键是在于分析调用函数次数和具体执行次数的关系,网上还有另外一种用二叉树的分析方法，大家可自行查阅，我就不再重复了。
对于斐波拉契算法的非递归实现的时间复杂度分析，其较为简单为O(n)，这里就不再赘述了。
int non_recursive_method(int n)
{
int p = 1;
int q = 1;
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
else
{
for(int i = 3; i < n; i++)
{
int tmp = p;//将第一个值p赋给tmp
p = q; //将第二个值q赋给p,以后每一次赋值都将得到的最新的F(n)赋给p,从后面语句可//以看出,q储存的为最新的F(n)
q = tmp + q;
}
return q;
}