斐波那契数列求解

问题起源

兔子生长的数目问题:

第一个月初有一对刚诞生的兔子
第二个月之后（第三个月初）它们可以生育
每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
兔子永不死去

如果笔算，前几项可以很快得出：

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$F_n$	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

数学描述

递推公式
$\begin{aligned} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_n &= F_{n-1} + F_{n-2} \\ \end{aligned}$
通项公式
$F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} [(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}], n \ge 0$
通项公式推导
参见：利用特征方程
其他诸多特性参见：https://baike.baidu.com/item/斐波那契数列/99145

代码实现

注意：当 n < 0 时，对应现实中的兔子问题，返回0.
代码实现有递归、迭代、利用通项等方式，分别给出：

直接递归(根据定义）

int fib_recursive(int n) {
    if (n < 0) {
        return 0;
    }
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    return fib_recursive(n - 1) + fib_recursive(n - 2);
}

直接递归，当n太大时会造成栈溢出

尾递归
关于尾递归可以参看：尾调用优化

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int fib_recursive_tail(int n, int a, int b) {
    if (n < 0) {
        return 0;
    }
    if (n == 0) {
        return a;
    }
    if (n == 1) {
        return b;
    }
    return fib_recursive_tail(n - 1, b, a + b);
}

借用数组迭代
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]

int fib_iteration_arr(int n) {
    if (n < 0) {
        return 0;
    }
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    int* arr = (int*)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    arr[0] = 0;
    arr[1] = 1;
    int i;
    int ret = 0;

    for (i = 2; i <= n; i++) {
        arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
    }

    ret = arr[n];
    free(arr);
    return ret;
}

利用数组迭代，需要额外的内存空间（如上述代码中的malloc向堆中申请了内存）；
事实上，我们需要的只是a[n], 所以可以考虑临时变量来实现；

借用临时变量迭代

int fib_iteration(int n) {
    if (n < 0) {
        return 0;
    }
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    int a = 0, b = 1;
    int t;
    while (n--) {
        t = b;
        b = a + b;
        a = t;
    }
    return a;
}

利用通项公式

#include <math.h>

int fib_formula(int n) {
    if (n < 0) {
        return 0;
    }
    const double sqrt_5 = sqrt(5);

    return round(
    	(pow((1 + sqrt_5) / 2, n) - pow((1 - sqrt_5) / 2, n)) / sqrt_5
    );
}

利用通项公式时，要利用几个库函数(sqrt, pow, round)。缓存了 $\sqrt{5}$ 的值，避免多次计算。

参考

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