【C语言】斐波那契数列四种优化求解

题目：

• 使用递归和非递归的方法分别实现求第n个斐波那契数，那么什么是斐波那契数。斐波那契数列指的是这样一个数列：0 、1、1、2、3、5、8、13、21，后面的每一个数是前面两个数的和。（由于数列增长快，int型就只能算到近50位，所以尽可能采用long long型）*

方法一：递归实现

//时间复杂度O(N^2)
//空间复杂度o(N)
long long fib(size_t n)
{
    return (n < 2) ? n : (fib(n - 1) + fib(n - 2));
}

方法二：非递归实现（迭代）

//时间复杂度O(N)
//空间复杂度O(1)
long long fib(size_t n)
{
    long long n1 = 0,n2= 1,n3=n;
    int i = 0;
    for(i = 2;i<=n;i++)
    {
        n3 = n1+n2;
        n1 = n2;
        n2 = n3;
    }
    return n3;
}

方法三：尾递归实现

//时间复杂度O（N）
long long fib(long long first,long long second,size_t n)
{
    if(n<2)
    {
        return n;
    }
    if(2 == n)
    {
        return first+second；
    }
    return fib(second,first+second,n-1);

}

方法四：矩阵乘法实现 (最优解)

• 常识：
  
  
• 快速幂：

#include <stdio.h>
//base 底数 ，exp 指数 
int qpow(int base,int exp)
{
if (0==exp ) return 1;

int ret=1;

while(exp)
{
    if(exp&1)//exp最右边一位 按位与&
    {
        ret=ret*base;
    }
    base=base*base;
    exp>>=1;//右移一位 
}
return ret;
} 

int main()
{
    printf("%d",qpow(3,5));
    return 0;
}

注：此方法借鉴与 谷歌面试题精选

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

 //定义2×2矩阵；
struct Matrix2by2
{
     //构造函数
     Matrix2by2
          (
         long m_00,
         long m_01,
         long m_10,
         long m_11
     )
     :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)
     {
     }

     //数据成员
     long m00;
     long m01;
     long m10;
     long m11;
 };

 //定义2×2矩阵的乘法运算
 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)
 {
     Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);
     matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;
     matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;
     matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;
     matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;
     return matrix12;

 }


 //定义2×2矩阵的幂运算
  Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)
 {
     Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);
     if(n == 1)
     {
         matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);
     }
     else if(n % 2 == 0)
     {
         matrix = MatrixPower(n / 2);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
     }
     else if(n % 2 == 1)
     {
         matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
         matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));
     }
     return matrix;
 }
 //计算Fibnacci的第n项
 long Fibonacci(unsigned int n)
 {
     if(n == 0)
         return 0;
     if(n == 1)
         return 1;

     Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);
     return fibMatrix.m00;

 }

 int main()
 {
     cout<<"Enter A Number:"<<endl;
     unsigned int number;
     cin>>number;
     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
     return 0;
 }

结语：

努力的人生是完美的，因为不曾后悔过！！！