关于斐波那契数列的简介:
斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。
具体题目:
求解斐波那契数列的F(n)有三种常用算法:递归算法和非递归算法还有矩阵快速幂。试分析三种算法的时间复杂度。
1.递归算法
#include<iostream>
using namespace std;
long Fibonacci(int n) {
if (n == 0)
return 0;
else if (n == 1)
return 1;
else
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2);
}
int main() {
cout << "Enter an integer number:" << endl;
int N;
cin >> N;
cout << Fibonacci(N) << endl;
system("pause");
return 0;
}
时间复杂度分析:
求解F(n),必须先计算F(n-1)和F(n-2),计算F(n-1)和F(n-2),又必须先计算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此类推,直至必须先计算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的结果,从而得到F(n)要计算很多重复的值,在时间上造成了很大的浪费,算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长,时间的复杂度为O(2^n),即2的n次方
2.非递归算法
#include<iostream>
using namespace std;
long Fibonacci(int n) {
if (n <= 2)
return 1;
else {
long num1 = 1;
long num2 = 1;
for (int i = 2;i < n - 1;i++) {
num2 = num1 + num2;
num1 = num2 - num1;
}
return num1 + num2;
}
}
int main() {
cout << "Enter an integer number:" << endl;
int N;
cin >> N;
cout << Fibonacci(N) << endl;
system("pause");
return 0;
}
时间复杂度分析:
从n(>2)开始计算,用F(n-1)和F(n-2)两个数相加求出结果,这样就避免了大量的重复计算,它的效率比递归算法快得多,算法的时间复杂度与n成正比,即算法的时间复杂度为O(n).
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3.矩阵乘法+快速幂
因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方,而计算矩阵的(n-2)次方,我们又可以进行分解,即计算矩阵(n-2)/2次方的平方,逐步分解下去,由于折半计算矩阵次方,因而时间复杂度为O(log n)
#include <iostream>
using namespace std;
class Matrix
{
public:
int n;
int **m;
Matrix(int num)
{
m=new int*[num];
for (int i=0; i<num; i++) {
m[i]=new int[num];
}
n=num;
clear();
}
void clear()
{
for (int i=0; i<n; ++i) {
for (int j=0; j<n; ++j) {
m[i][j]=0;
}
}
}
void unit()
{
clear();
for (int i=0; i<n; ++i) {
m[i][i]=1;
}
}
Matrix operator=(const Matrix mtx)
{
Matrix(mtx.n);
for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
m[i][j]=mtx.m[i][j];
}
}
return *this;
}
Matrix operator*(const Matrix &mtx)
{
Matrix result(mtx.n);
result.clear();
for (int i=0; i<mtx.n; ++i) {
for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {
result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];
}
}
}
return result;
}
};
int main(int argc, const char * argv[]) {
unsigned int num=2;
Matrix first(num);
first.m[0][0]=1;
first.m[0][1]=1;
first.m[1][0]=1;
first.m[1][1]=0;
int t;
cin>>t;
Matrix result(num);
result.unit();
int n=t-2;
while (n) {
if (n%2) {
result=result*first;
}
first=first*first;
n=n/2;
}
cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl;
return 0;
}
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