一.什么是树结构？
树（Tree）结构是一种描述非线性层次关系的数据结构。树是n个数据结点的集合，在该集合中包含一个根结点，根结点下分布着一些互不交叉的子集合，这些子集合是根结点的子树。
树结构的基本特征如下：
- 在一个树结构中，有且仅有一个结点没有直接前驱，这个结点就是树的根结点。
- 除根结点外，其余每个结点有且仅有一个直接前驱。
- 每个结点可以有任意多个直接后继。
- 一个树结构也可以是空，空树没有数据结点，也就是一个空集合。
- 如果树结构中仅包含一个结点，那么这也是一个树，树根便是该结点自身。
二.树的基本概念
1.父结点和子结点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，相应的，该结点称为其子结点的父结点。
2.兄弟结点：具有同一父结点的子结点。
3.结点的度：一个节点所包含子树的数量。
4.树的度：是该树所有结点中最大的度。
5.叶结点：树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
6.分支结点：树中度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。
7.结点的层数：结点的层数从树根开始计算，根结点为第1层，依次向下为第2、3、......、n层（树是一种层次结构，每个结点都处在一定层次上）。
8.树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度。
9.有序树：若树中各结点的子树（兄弟结点）是按一定次序从左向右排列的，称为有序树。
10.无序树：若树中各结点的子树（兄弟结点）未按一定次序排列，称为无序树。
11.森林（forest）：n（n>0）棵互不相交的树的集合。
三.二叉树
1.什么是二叉树？
二叉树是数据结构的一种特殊形式，它是n个结点的结合，每个结点最多只能有两个子结点。二叉树的子树仍然是二叉树。二叉树的一个结点上对应的两个子树分别称为左子树和右子树。由于子树有左右之分，因此二叉树是有序树。
- 二叉树结点的最大度是2。
- 二叉树有左右子树的区别。
2.特殊的二叉树
（1）满二叉树
满二叉树即在二叉树中除最下一层的叶结点外，每层的结点都有两个子结点。而且结点总数为：2^n-1。n是树的高度。
（2）完全二叉树
完全二叉树即在除二叉树最后一层外，其他各层的结点树都达到最大个数，且最后一层叶结点按照从左向右的顺序连续存在，只缺最后一层右侧若干结点。
若树中包含n个结点，对于任意一个结点m来说，有如下性质：
- 如果m!=1,则结点m的父结点的编号为m/2；
- 如果2*m<=n，则结点m的左子树根结点的编号为2*m；若2*m+1>n，则无左子树，也没有右子树；
- 如果2*m+1<=n,则结点m的右子树根结点编号为2*m+1；若2*m+1>n,则无右子树。
- 对于该完全二叉树来说，其深度为[log2n]+1。
满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。
3.二叉树的顺序存储
树结构的顺序存储一般采用一维结构数组来表示。
顺序存储的二叉树通常情况只考虑完全二叉树。
- 第n个元素的左子结点是2*n+1
- 第n个元素的右子结点是2*n+2
- 第n个元素的父结点是(n-1)/2
（1）二叉树抽象类
package cn.kimtian.tree.arraybinarytree;
/**
* 顺序存储的二叉树
*
* @author kimtian
*/
public class ArrayBinaryTree {
/**
* 一个存储树的数组
*/
int[] data;
public ArrayBinaryTree(int[] data) {
this.data = data;
}
}
（2）给二叉树赋值
package cn.kimtian.tree.arraybinarytree;
/**
* 创建一个顺序存储的二叉树
*
* @author kimtian
*/
public class TestArrayBinaryTree {
public static void main(String[] args) {
int[] a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};
ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(a);
}
}
4.二叉树的链式存储
（1）二叉树抽象类
package cn.kimtian.tree;
/**
* 链式存储的二叉树
*
* @author kimtian
*/
public class BinaryTree {
/**
* 根结点
*/
TreeNode root;
/**
* 设置根结点
*
* @param root 根结点
*/
public void setRoot(TreeNode root) {
this.root = root;
}
/**
* 获取根结点
*
* @return TreeNode 根结点
*/
public TreeNode getRoot() {
return root;
}
}
（2）二叉树的结点
package cn.kimtian.tree;
/**
* 树里面的结点
*
* @author kimtian
*/
public class TreeNode {
/**
* 树里面的值，结点的权
*/
int value;
/**
* 左儿子
*/
TreeNode leftNode;
/**
* 右儿子
*/
TreeNode rightNode;
public TreeNode(int value) {
this.value = value;
}
public void setLeftNode(TreeNode leftNode) {
this.leftNode = leftNode;
}
public void setRightNode(TreeNode rightNode) {
this.rightNode = rightNode;
}
}
（3）给二叉树赋值
package cn.kimtian.tree;
/**
* 测试链式存储的二叉树
*
* @author kimtian
*/
public class TestBinaryTree {
public static void main(String[] args) {
//创建一棵树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//创建一个根结点
TreeNode root = new TreeNode(1);
//将根结点赋给树
binaryTree.setRoot(root);
//创建一个子左结点
TreeNode leftTwo = new TreeNode(2);
//创建一个子右结点
TreeNode rightTwo = new TreeNode(3);
//给根的左结点赋值
root.setLeftNode(leftTwo);
//给根的右结点赋值
root.setRightNode(rightTwo);
}
}