前言

本文主要讲解二叉树，顺序存储二叉树，线索化二叉树

数据结构与算法文章列表

（一）二叉树

（1）为什么使用树

1）分析数组优缺点
优点：按照索引查询元素速度快、能存储大量数据、按照索引遍历数组方便
缺点：根据内容查找元素速度慢、数组的大小一经确定不能改变、数组只能存储一种类型的数据、增加、删除元素效率慢、未封装任何方法，所有操作都需要用户自己定义。
数组示意图：
在这里插入图片描述

2) 分析链表的优缺点
优点：添加、删除比较方便
缺点：查找某个值时，需要从头节点开始遍历，效率比较低
操作示意图：
在这里插入图片描述

3) 树存储方式的分析
能提高数据存储，读取的效率。
案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]
在这里插入图片描述

（2）树示意图

在这里插入图片描述
树的常用术语(结合示意图理解):

节点
根节点
父节点
子节点
叶子节点 (没有子节点的节点)
节点的权(节点值)
路径(从 root 节点找到该节点的路线)
层
子树
树的高度(最大层数)
森林 :多颗子树构成森林

（3）二叉树的概念

树中节点的度不大于2的有序树称为二叉树。
二叉树的子节点分为左节点和右节点
示意图：
如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则我们称为满二叉树。
深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，我们称为完全二叉树。

（4）二叉树遍历的说明

前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
总结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

（5）二叉树遍历应用实例(前序,中序,后序)

应用实例的说明和思路
在这里插入图片描述
二叉树遍历代码（点击下面链接查看源代码）
二叉树遍历应用实例(前序,中序,后序)

（6）二叉树-查找指定节点(前序,中序,后序)

要求：

请编写前序查找，中序查找和后序查找的方法。
并分别使用三种查找方式，查找 heroNO = 5 的节点
并分析各种查找方式，分别比较了多少次
思路分析图解

代码（点击下面链接查看源代码）：
二叉树-查找指定节点(前序,中序,后序)

（7）二叉树-删除节点

要求：

如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.
测试，删除掉 5 号叶子节点和 3 号子树.
完成删除思路分析

代码（点击下面链接查看源代码）：
二叉树-删除节点

（二）顺序存储二叉树

（1）顺序存储二叉树的概念

基本说明：
从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，看右面的示意图。
在这里插入图片描述
要求：

右图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6]
要求在遍历数组 arr 时，仍然可以以前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历

顺序存储二叉树的特点：

顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
第 n 个元素的左子节点为 2 * n + 1
第 n 个元素的右子节点为 2 * n + 2
第 n 个元素的父节点为 (n-1) / 2
n : 表示二叉树中的第几个元素(按 0 开始编号如图所示)

（2）顺序存储二叉树遍历

需求: 给你一个数组 {1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。前序遍历的结果应当为1,2,4,5,3,6,7

public class ArrBinaryTreeDemo {
    
    
     public static void main(String[] args) {
    
    
          int[] arr = {
    
     1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
          // 创建一个 ArrBinaryTree
          ArrBinaryTree arrBinaryTree = new  ArrBinaryTree(arr);
          arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
     }
}

// 编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历
class ArrBinaryTree {
    
    
     private int[] arr;// 存储数据结点的数组
     public ArrBinaryTree(int[] arr) {
    
    
          this.arr = arr;
     }

     // 重载preOrder
     public void preOrder() {
    
    
          this.preOrder(0);
     }

     // 编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
     /**
      *
      * @param index 数组的下标
      */
     public void preOrder(int index) {
    
    
          // 如果数组为空，或者 arr.length = 0
          if (arr == null || arr.length == 0) {
    
    
              System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
          }
          // 输出当前这个元素
          System.out.println(arr[index]);
          // 向左递归遍历
          if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
    
    
              preOrder(2 * index + 1);
          }
          // 向右递归遍历
          if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
    
    
              preOrder(2 * index + 2);
          }
     }
}

结果：

（3）顺序存储二叉树应用实例

八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树

（三）线索化二叉树

（1）问题

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7
在这里插入图片描述
问题分析:

当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }
但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的左右指针，并没有完全的利用上.
如果我们希望充分的利用各个节点的左右指针，让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
解决方案-线索二叉树

（2）线索二叉树基本介绍

n 个结点的二叉链表中含有 n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）
这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
一个结点的前一个结点，称为前驱结点
一个结点的后一个结点，称为后继结点

（3）线索二叉树应用案例

应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
在这里插入图片描述
思路分析: 中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}

说明: 当线索化二叉树后，Node 节点的属性 left 和 right ，有如下情况:

left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
right 指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点 right 指向的是右子树，而⑩ 节点的 right 指向的是后继节点

代码（点击下面链接查看源代码）：
线索二叉树应用案例

（4）遍历线索化二叉树

说明：对前面的中序线索化的二叉树，进行遍历
分析：因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。遍历的次序应当和中序遍历保持一致。
代码（点击下面链接查看源代码）：
遍历线索化二叉树

数据结构与算法：树结构的基础部分

前言