完全二叉树节点个数

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完全二叉树节点个数

最简单的解法就是遍历这棵树，时间复杂度是O(N)，如果只是这一种解法，就不会有本文了。本文中给出两种解法。

完全二叉树

第一次看到完全二叉树的定义比较懵，搜索到的定义如下：

设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

谁到不想看这个定义，比较简单的理解就是和满二叉树相比较，看按层次遍历的标号是否一致。具体方案不再阐述，网上都有。

实现

• 遍历
• 借助完全二叉树的特点

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */

遍历

看一下递归的公式：

• 空树：返回0
• 非空树：递归的统计左右子树的节点个数，返回左右子树节点个数加1的和

func countNodes(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    
    sumL := countNodes(root.Left)
    sumR := countNodes(root.Right)
    
    return sumL+sumR+1
}

借助完全二叉树的特点

这个特点是什么呢？完全二叉树=满二叉树+完全二叉树。完全二叉树里藏着一颗满二叉树和另外一颗完全二叉树，最惊喜的是从公式里看出子问题和原问题基本一致，可以使用递归啊。

完全二叉树的层数

这种算法的实现需要知道完全二叉树的层数，难道又需要遍历统计吗，当然不需要了，还是借助完全二叉树的特点，可以根据完全二叉树的最左节点和一个计数变量搞定，因为这个最左节点肯定是位于最后一层。

func height(root *TreeNode) int {
    h := 0
    
    for root != nil {
        h++
        root = root.Left
    }
    
    return h
}

原理

• h = height(root), hright = height(root.Right)
• 左子树和右子树其中有一颗是完全二叉树，另一颗是满二叉树
• 区别左右子树的种类根据h-hright
  • h-hright=1：
    • 左子树：满二叉树
    • 右子树：完全二叉树
  • h-hright=2:
    • 左子树：完全二叉树
    • 右子树：满二叉树
• 节点个数=1+左子树节点个数+右子树节点个数 = (1 << hright)+递归另一颗完全二叉树(满二叉树 = 1 << hright)

第一种情况

第二种情况

实现

func countNodes(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    
    return nodeNums(root)
}

func nodeNums(root *TreeNode) int {
    h := height(root)
    hR := height(root.Right)
    
    //两种情况满二叉树层数都是hR
    //不同在于递归左子树还是右子树
    nums := 1 << uint(hR)
    if hR+1 == h {
        return nums+countNodes(root.Right)
    }
    
    return nums+countNodes(root.Left)
}

func height(root *TreeNode) int {
    h := 0
    
    for root != nil {
        h++
        root = root.Left
    }
    
    return h
}

时间复杂度

对于每一个节点最多需要访问深度个数的节点，所以最终时间复杂度是O(lg2*lg2)。

关于作者

大四学生一枚，分析数据结构，面试题，golang，C语言等知识。QQ交流群：521625004。微信公众号：后台技术栈。