【LeetCode 中等题】49-不同的二叉搜索树

题目描述：给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解法1。假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，即有:G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)。n为根节点，当i为根节点时，其左子树节点个数为[1,2,3,...,i-1]，右子树节点个数为[i+1,i+2,...n]，所以当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，而这左子树的可能排布方式有G(i-1)种，同理右子树的为G(n-i)，即f(i) = G(i-1)*G(n-i),

上面两式可得:G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)

解题思路：假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，1为根节点，2为根节点，...，n为根节点，当1为根节点时，其左子树节点个数为0，右子树节点个数为n-1，同理当2为根节点时，其左子树节点个数为1，右子树节点为n-2，所以可得G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # 用一个一维数组存储0-n的所有排布方式个数，自底向上计算出dp[n]并返回
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            for j in range(i):
                dp[i] += dp[j]*dp[i-j-1]
        return dp[n]
        

参考链接：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4299608.html