高等流体力学复习02

流体变形包括哪几种?变形（线变形/角变形）、平移、旋转

一 连续性方程

1.取控制体（任意）
2.质量守恒定律
3.高斯公式-将面积分转化为体积分（一个函数的面积分等于其散度的体积分）
4.积分定理-连续函数，任意积分体，其体积分为零，则函数必为零
$\int_V[\frac{ \partial\rho}{\partial t} +\bigtriangledown ·（\rho V_n） ]{\rm d}V=0$
5.定常流
$\because \frac{ \partial\rho}{\partial t}=0$
$\Rightarrow \bigtriangledown ·（\rho V_n）=0$
6.定常不可压缩流
$\because \frac{ \partial\rho}{\partial t}=0，\rho=const$
$\Rightarrow\frac{ \partial u}{\partial x}+\frac{ \partial v}{\partial y}+\frac{ \partial w}{\partial z}=0$
思考题：
1.试判别下列流动是否存在 $u=x^2-y^2,v=-2xy,w=0$
2.试给出圆管中的连续性方程
3.试给出喷管中的连续性方程

二 运动方程（动量方程）

1.动量定理：
（1）冲量–力在时间过程中的累积效应，等于力与其作用时间的乘积，为矢量，方向与力一致。
（2）动量：是表征物体运动状态的量，等于质量与速度的乘积，为矢量，方向与速度一致。
（3）动量定理
2.取控制体（任意）
3.受力分析
（1）体积力 $\int_V \rho·F {\rm d}V$
（2）表面力 $\int_A \tau_n{\rm d}A$
（3）动量变化率 $\frac{d}{d\tau}\int_V \rho·V_n{\rm d}V$
4.由动量定理
$\frac{d}{d\tau}\int_V \rho·V_n{\rm d}V=\int_V \rho·F {\rm d}V+\int_A \tau_n{\rm d}A$
5.由高斯公式得：
$\frac{d}{d\tau}\int_V \rho·V_n{\rm d}V=\int_V [ \rho·F+\bigtriangledown·(\tau_n) ] {\rm d}V$
6.函数积分的随体导数
$\frac{d}{d\tau}\int_V \rho·V_n{\rm d}V=\int_V\frac{{\rm d}(\rho·V_n)}{{\rm d}\tau}{\rm d}V$
7.积分定理-控制体任意且连续
$\frac{{\rm d}(\rho·V_n)}{{\rm d}\tau}-\rho·F-\bigtriangledown·（\tau_n）=0$
8.方程的封闭性
9.纳维-斯托克斯方程（N-S方程）
10.N-S方程讨论：
（1）方程的封闭性
（2）理想流体
（3）静止流体
练习：已知u=yzt,v=xzt,w=0,求质点在（1，2，1）处，t=1s时的加速度。

另一种推导动量方程的方法 —微分形式

牛顿第二定律 （受力平衡）
合力=体积力+表面力=ma
$\vec F=\vec F_b+\vec F_s=m\vec a=\rho{\rm d}x{\rm d}y {\rm d}z\frac{{\rm d }\vec V}{{\rm d }t}$
其中，体积力为： $\vec F_b=\vec f_b·\rho {\rm d}x{\rm d }y{\rm d }z$
表面力： $\vec F_{s,right}-\vec F_{s,left}=(\vec\tau_x+\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} {\rm d}x) {\rm d}y {\rm d}z-\vec\tau_x {\rm d}y {\rm d}z=\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} {\rm d}x{\rm d}y {\rm d}z$

$\Rightarrow \vec F_s=(\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} +\frac{\partial\vec\tau_y}{\partial y} +\frac{\partial\vec\tau_z}{\partial z} ) {\rm d}x{\rm d}y {\rm d}z$

$\Rightarrow \frac{{\rm d }\vec V}{{\rm d }t}=\vec f_s+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} +\frac{\partial\vec\tau_y}{\partial y} +\frac{\partial\vec\tau_z}{\partial z})$
任一表面应力可分解为3个方向的应力张量：一个正应力，二个切应力
$\vec \tau_x=\vec \tau_{xx}+\vec \tau_{xy}+\vec \tau_{xz}=\tau_{xx}\vec i+\tau_{xy}\vec j+ \tau_{xz}\vec k$
$\Rightarrow \frac{{\rm d }\vec V}{{\rm d }t}=\vec f_s+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial\vec\tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial\vec\tau_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial\vec\tau_z}{\partial z})+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} +\frac{\partial\vec\tau_y}{\partial y} +\frac{\partial\vec\tau_z}{\partial z})+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial\vec\tau_x}{\partial x} +\frac{\partial\vec\tau_y}{\partial y} +\frac{\partial\vec\tau_z}{\partial z})$
张量表示： $\frac{{\rm d}u_i}{{\rm d }t}=f_{b,i}+\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \tau_{ji}}{\partial x_j})$
又因为： $\tau_{xy}=\tau_{yx},\tau_{xz}=\tau_{zx},\tau_{yz}=\tau_{zy}$
则应力分量应该有6个独立分量：
$\tau_{xx},\tau_{yy},\tau_{zz},\tau_{xy},\tau_{xz},\tau_{yz}$
另外：欧拉认为流体的粘性力相比与压力是非常小的，假设忽略切应力，正应力等于压力，即： $\tau_{xx}=\tau_{yy}=\tau_{zz}=-p,\tau_{xy}=0,\tau_{xz}=0,\tau_{yz}=0$
$\Rightarrow \frac{{\rm d }\vec V}{{\rm d }t}=\vec f_s-\frac{1}{\rho}·\bigtriangledown p----无粘流动欧拉方程$

三 能量方程

1.取控制体（任意）
2.能量分析
(1)动能变化率(分子热运动+质点运动)
$\frac{{\rm d}E_v}{{\rm d }\tau}=\frac{{\rm d} }{{\rm d }\tau}\int_V \rho(e+\frac{V_n^2}{2}) {\rm d }V$
(2)功（体积力功+表面力做功）
$W=\int_V\rho·F·V_n{\rm d}V+\int_A\tau_nV_n{\rm d}A$
(3)传热（导热项+源项） $Q=\int_A\lambda\frac{ \partial T}{ \partial n}{\rm d }A+\int_V\rho q{\rm d}V$
3.由能量守恒定律的：
$\rho C_p\frac{{\rm d}T}{{\rm d}\tau}=\phi+\lambda\bigtriangledown·T+\rho q$
其中， $\phi=$
$\lambda^·=\lambda^·（\mu）$

思考题：
(1).试给出常见的理想流体能量方程—(伯努利方程)
(2).当沿程存在阻力损失时的能量方程
(3).当存在损失和外功输入的能量方程
练习：
1.水泵
2.
3.
4
虹吸现象
毛细现象