ARC101E Ribbons on Tree

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Problem

AtCoder

Solution

发现ARC也有挺多比较有意思的题目……
直接统计是很麻烦的，所以我们不妨考虑容斥。如果有 $F(S)$表示 $S$集合中的边未被覆盖的答案，那么用一下子集容斥就做完了。

考虑 $f[x][i]$表示x子树内有i个点未匹配的方案数，我们会发现当且仅当 $i=0$时，x的父边是没有被覆盖的，根据子集反演会给我们带来-1的容斥系数，所以不妨在转移时把这个数组当负数来处理，最后输出注意一下即可。其他情况可以 $O(n^2)$暴力转移。

Code

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5010,mod=1e9+7;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
struct data{int v,nxt;}edge[maxn<<1];
int n,p,head[maxn],sz[maxn],t[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn];
inline int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
inline void insert(int u,int v)
{
	edge[++p]=(data){v,head[u]};head[u]=p;
	edge[++p]=(data){u,head[v]};head[v]=p;
}
void input()
{
	int u,v;
	read(n);g[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		read(u);read(v);
		insert(u,v);
	}
	for(int i=2;i<=n;i+=2) g[i]=(ll)g[i-2]*(i-1)%mod;
}
void dp(int x,int pre)
{
	int v,tot;f[x][sz[x]=1]=1;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	  if(edge[i].v^pre)
	  {
	  	v=edge[i].v;dp(v,x);tot=sz[x]+sz[v];
	  	for(int j=1;j<=tot;j++) t[j]=0;
	  	for(int j=1;j<=sz[x];j++)
	  	  for(int k=0;k<=sz[v];k++)
	  	    t[j+k]=pls(t[j+k],(ll)f[x][j]*f[v][k]%mod);
	  	for(int j=1;j<=tot;j++) f[x][j]=t[j];
	  	sz[x]+=sz[v];
	  }
	for(int i=1;i<=sz[x];i++) f[x][0]=dec(f[x][0],(ll)f[x][i]*g[i]%mod);
}
int main()
{
	input();
	dp(1,1);
	printf("%d\n",dec(0,f[1][0]));
	return 0;
}