BZOJ 3456 城市规划 ( NTT + 多项式求逆 )

题目链接：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456

题意：

求出\(n\)个点的简单(无重边无自环)无向连通图的个数。(\(n<=130000\)).

并且输出方案数mod \(1004535809(479 * 2 ^ {21} + 1)\).

题解：

这题是POJ 1737的加强版。

从之前写过的题解中：

POJ 1737 Connected Graph

我们知道存在这样的递推式：

\[f[n]=2^{C(n,2)}-\sum_{i=1}^{n-1}f[i]*C(n-1,i-1)*2^{C(n-i,2)}\]

将上式左右两边同除\((n−1)!\)得到：

\[\frac{f[n]}{(n−1)!}=\frac{2^{C(n,2)}}{(n−1)!} - \frac{\sum_{i=1}^{n-1}f[i]*C(n-1,i-1)*2^{C(n-i,2)}}{(n−1)!}\]

\[\implies \frac{f[n]}{(n−1)!}=\frac{2^{C(n,2)}}{(n−1)!} - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{f[i]*2^{C(n-i,2)}}{(i-1)!*(n-i)!}\]

\[\implies \frac{2^{C(n,2)}}{(n−1)!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]*2^{C(n-i,2)}}{(i-1)!*(n-i)!} \]

\[\implies \sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}*\frac{2^{C(n-i,2)}}{(n-i)!} = \frac{2^{C(n,2)}}{(n−1)!} \]

这个显然是一个卷积的形式。

指数级生成函数。

那么我们可以令：

\[A = \sum_{i=1}^{n}\frac{f[i]}{(i-1)!}x^i\]

\[B = \sum_{i=0}^{n}\frac{2^{C(i,2)}}{i!}x^i\]

\[C = \sum_{i=1}^{n}\frac{2^{C(i,2)}}{(i−1)!}x^i\]

有：

\[A*B = C\]

那么有：

\[A≡C*B^{-1}(mod\ x^{n+1})\]

多项式求逆再跑个NTT就可以了。

复杂度:O(nlogn).

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int maxLen = 18, maxm = 1 << maxLen | 1;
const ll maxv = 1e10 + 6; // 1e14, 1e15
const int N = 1000000;
const long double pi = acos(-1.0); // double maybe is not enough
ll mod = 1004535809, nlim, sp, msk;

ll qpower(ll x, ll p) { // x ^ p % mod
    ll ret = 1;
    while (p) {
        if (p & 1) (ret *= x) %=mod;
        (x *= x) %=mod; 
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
int R[N];
int G = 3;
void NTT(int *a,int f,int n,int L)
{
    for(int i = 0;i < n; i++) {
        R[i] = (R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    }
    for(int i = 0;i < n;i++) {
        if(i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    }
    for(int i = 1;i < n;i <<= 1) 
    {
        int wn = qpower(G,(mod-1)/(i<<1));
        if(f==-1) wn = qpower(wn,mod-2);
        for(int j = 0;j < n;j += (i<<1))
        {
            int w=1;
            for(int k = 0; k < i; k++,w = 1LL * w * wn % mod)
            {
                int x=a[j+k];
                int y=1LL*a[j+k+i]*w%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;
                a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1){
        int tmp = qpower(n,mod-2);
        for(int i = 0;i < n;i++) 
        {
            a[i] = 1LL * a[i] * tmp % mod;
        }
    }
}
int d[N];
void ployInv(int *a,int *b,int n,int L){
    if(n == 1){
        b[0] = qpower(a[0],mod - 2);return;
    }
    ployInv(a,b,n >> 1,L - 1);
    memcpy(d,a,n*sizeof(int));
    memset(d + n,0,n*sizeof(int));
    NTT(d,1,n << 1,L + 1);
    NTT(b,1,n << 1,L + 1);
    for(int i = 0;i < (n<<1); i++)  {
        b[i] = 1LL * b[i] * ((2LL - 1LL * d[i] * b[i] % mod + mod) % mod) % mod;
    }
    NTT(b,-1,n << 1,L + 1);
    memset(b + n,0,n * sizeof(int));
}
ll n,m;
ll fac[N];
int L;
int A[N],B[N],C[N],inv_B[N];
int main()
{
    // freopen("in.txt","r",stdin);
    std::cin >> n;
    m = 1;
    while(m <= (n << 1)) m<<=1, L++;

    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
    }
    for(ll i = 0; i <= n; i++) {
        B[i] = qpower(2,(i * (i - 1)>>1)) * qpower(fac[i],mod - 2) % mod;
    }

    for(ll i = 1; i <= n; i++) {
        C[i] = qpower(2,(i * (i - 1)>>1)) * qpower(fac[i - 1],mod - 2) % mod;
    }

    A[0]=1;
    ployInv(B,inv_B,m,L);
    NTT(inv_B,1,m,L);
    NTT(C,1,m,L);
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        A[i] = 1LL * inv_B[i] * C[i] % mod;
    }
    NTT(A,-1,m,L);
    std::cout << A[n]*fac[n-1] % mod << '\n';
    return 0;
}