算法梳理GBDT篇

GBDT思想

GBDT(Gradient Boosting Decision Tree) 又叫 MART（Multiple Additive Regression Tree)，是一种用于回归的机器学习算法，该算法由多棵回归决策树组成，所有树的结论累加起来做最终答案。虽然GBDT是回归算法，但也可通过变形使其应用于分类问题之中。
GBDT思想是，每一次建立模型是在建立模型损失函数的梯度下降方向。损失函数是评价模型性能，损失函数越小，性能越好。让损失函数持续下降，就能使得模型不断改性提升性能，其最好的方法就是使损失函数沿着梯度方向下降。在GBDT的迭代中，假设前一轮迭代得到的强学习器是 $ft−1(x)$, 损失函数是 $L(y,ft−1(x))$, 本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器 $ht(x)$，让本轮的损失函数 $L(y,ft(x)=L(y,ft−1(x)+ht(x))$最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

负梯度拟合

用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为

$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$

利用 $(xi,rti)(i=1,2,..m)$,我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域 $Rtj,j=1,2,...,J$。其中J为叶子节点的个数。

损失函数

分类

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:
当损失函数为指数函数时，则损失函数表达式为：
$L(y,f(x))=exp(−yf(x))$
当损失函数为对数函数时，则有:
$L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))$

回归

对于回归算法，常用损失函数有如下4种:
均方差：
$L(y,f(x))=(y−f(x))2$
绝对损失：
$L(y,f(x))=|y−f(x)|$
Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：

回归分类

回归

输入是训练集样本 $T={(x1,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}$， 最大迭代次数T, 损失函数L。输出是强学习器f(x)。
1.初始化弱学习器
　 $f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)$
2.对迭代轮数t=1,2,…T有：
　 a.对样本i=1,2，…m，计算负梯度
　
　 $r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$
　
　 b.利用 $(xi,rti)(i=1,2,..m)$, 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为 $Rtj,j=1,2,...,J$。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
　 c.对叶子区域j =1,2,…J,计算最佳拟合值
　
　 $c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)$
　
　 d.更新强学习器
　
　 $f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$
　
3.得到强学习器f(x)的表达式
　
　 $f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$

分类

对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：

$L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))$

其中 $y∈{−1,+1}$。则此时的负梯度误差为

$r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))$

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为

$c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))$

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

$c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)$

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时的对数似
然损失函数为：

$L(y, f(x)) = - \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)$

其中如果样本输出类别为k，则 $yk=1$。第k类的概率pk(x)的表达式为：
$p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))$

集合上两式，我们可以计算出第t轮的第i个样本对应类别l的负梯度误差为

$r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)$

观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别l的真实概率和t−1轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，各个叶子节点的最佳残差拟合值为:

$c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tj}))$

由于上式比较难优化，一般使用近似值代替

$c_{tjl} = \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}$

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

正则化

和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为ν,对于前面的弱学习器的迭代
$fk(x)=fk−1(x)+hk(x)$
如果我们加上了正则化项，则有
$fk(x)=fk−1(x)+νhk(x)$
ν的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集学习效果，较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。
使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。
第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。

优缺点

优点

1.适合低维数据，且预测精度高
2.可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
3.使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

缺点

1.由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。
2.如果数据维度较高时会加大算法的计算复杂度

sklearn参数

GBDT类库boosting框架参数

1. n_estimators: 也就是弱学习器的最大迭代次数，或者说最大的弱学习器的个数。一般来说n_estimators太小，容易欠拟合，n_estimators太大，又容易过拟合，一般选择一个适中的数值。默认是100。在实际调参的过程中，我们常常将n_estimators和下面介绍的参数learning_rate一起考虑。

2) learning_rate: 即每个弱学习器的权重缩减系数ν，也称作步长，在原理篇的正则化章节我们也讲到了，加上了正则化项，我们的强学习器的迭代公式为fk(x)=fk−1(x)+νhk(x)。ν的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集拟合效果，较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。所以这两个参数n_estimators和learning_rate要一起调参。一般来说，可以从一个小一点的ν开始调参，默认是1。

3) subsample: 即我们在原理篇的正则化章节讲到的子采样，取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间，默认是1.0，即不使用子采样。

4) init: 即我们的初始化的时候的弱学习器，拟合对应原理篇里面的f0(x)，如果不输入，则用训练集样本来做样本集的初始化分类回归预测。否则用init参数提供的学习器做初始化分类回归预测。一般用在我们对数据有先验知识，或者之前做过一些拟合的时候，如果没有的话就不用管这个参数了。

5) loss: 即我们GBDT算法中的损失函数。分类模型和回归模型的损失函数是不一样的。

对于分类模型，有对数似然损失函数"deviance"和指数损失函数"exponential"两者输入选择。默认是对数似然损失函数"deviance"。在原理篇中对这些分类损失函数有详细的介绍。一般来说，推荐使用默认的"deviance"。它对二元分离和多元分类各自都有比较好的优化。而指数损失函数等于把我们带到了Adaboost算法。

对于回归模型，有均方差"ls", 绝对损失"lad", Huber损失"huber"和分位数损失“quantile”。默认是均方差"ls"。一般来说，如果数据的噪音点不多，用默认的均方差"ls"比较好。如果是噪音点较多，则推荐用抗噪音的损失函数"huber"。而如果我们需要对训练集进行分段预测的时候，则采用“quantile”。

6) alpha：这个参数只有GradientBoostingRegressor有，当我们使用Huber损失"huber"和分位数损失“quantile”时，需要指定分位数的值。默认是0.9，如果噪音点较多，可以适当降低这个分位数的值。

GBDT类库弱学习器参数

由于GBDT使用了CART回归决策树，因此它的参数基本来源于决策树类，也就是说，和DecisionTreeClassifier和DecisionTreeRegressor的参数基本类似。如果你已经很熟悉决策树算法的调参，那么这一节基本可以跳过。不熟悉的朋友可以继续看下去。

1) 划分时考虑的最大特征数max_features: 可以使用很多种类型的值，默认是"None",意味着划分时考虑所有的特征数；如果是"log2"意味着划分时最多考虑log2N个特征；如果是"sqrt"或者"auto"意味着划分时最多考虑N−−√个特征。如果是整数，代表考虑的特征绝对数。如果是浮点数，代表考虑特征百分比，即考虑（百分比xN）取整后的特征数。其中N为样本总特征数。一般来说，如果样本特征数不多，比如小于50，我们用默认的"None"就可以了，如果特征数非常多，我们可以灵活使用刚才描述的其他取值来控制划分时考虑的最大特征数，以控制决策树的生成时间。

2) 决策树最大深度max_depth: 默认可以不输入，如果不输入的话，默认值是3。一般来说，数据少或者特征少的时候可以不管这个值。如果模型样本量多，特征也多的情况下，推荐限制这个最大深度，具体的取值取决于数据的分布。常用的可以取值10-100之间。

3) 内部节点再划分所需最小样本数min_samples_split: 这个值限制了子树继续划分的条件，如果某节点的样本数少于min_samples_split，则不会继续再尝试选择最优特征来进行划分。 默认是2.如果样本量不大，不需要管这个值。如果样本量数量级非常大，则推荐增大这个值。

4) 叶子节点最少样本数min_samples_leaf: 这个值限制了叶子节点最少的样本数，如果某叶子节点数目小于样本数，则会和兄弟节点一起被剪枝。 默认是1,可以输入最少的样本数的整数，或者最少样本数占样本总数的百分比。如果样本量不大，不需要管这个值。如果样本量数量级非常大，则推荐增大这个值。

5）叶子节点最小的样本权重和min_weight_fraction_leaf：这个值限制了叶子节点所有样本权重和的最小值，如果小于这个值，则会和兄弟节点一起被剪枝。 默认是0，就是不考虑权重问题。一般来说，如果我们有较多样本有缺失值，或者分类树样本的分布类别偏差很大，就会引入样本权重，这时我们就要注意这个值了。

6) 最大叶子节点数max_leaf_nodes: 通过限制最大叶子节点数，可以防止过拟合，默认是"None”，即不限制最大的叶子节点数。如果加了限制，算法会建立在最大叶子节点数内最优的决策树。如果特征不多，可以不考虑这个值，但是如果特征分成多的话，可以加以限制，具体的值可以通过交叉验证得到。

7) 节点划分最小不纯度min_impurity_split: 这个值限制了决策树的增长，如果某节点的不纯度(基于基尼系数，均方差)小于这个阈值，则该节点不再生成子节点。即为叶子节点 。一般不推荐改动默认值1e-7。

应用场景

GBDT算法适用范围非常广，几乎可以用于所有的分类问题，无论是线性还是非线性。

参考博客：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6140514.html
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6143927.html