高斯消元求解四种方程组

高斯消元

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注：文章内容摘选自其他博客
模板代码来自： 作者：Alex_McAvoy 文章链接：线性代数——高斯消元法

一、线性方程组的求解

在求解线性方程组往往将其系数矩阵（或增广矩阵）化为上三角矩阵。
在化为上三角矩阵后，若增广矩阵中出现形如 0 0 0 0 a 的行，则该线性方程组无解；若增广矩阵中每一行均有非0元素（即上三角矩阵完整）则有唯一解；若含有多个全零行，则说明矩阵中含有自由元，计算矩阵的秩r，自由元的个数就为 n-r。

求解线性方程组(化为上三角矩阵)的步骤：（高斯消元法）
1.消元
2.回代
3.判断解的个数（无解、1个、无穷个）

二、线性方程组整数类型

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
int GCD(int a,int b){
    
    
    return !b?a:GCD(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b){
    
    
    return a/GCD(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){
    
    //返回自由变元个数
    /*初始化*/
    for(int i=0;i<=var;i++){
    
    
        x[i]=0;
        freeX[i]=true;
    }
 
    /*转换为阶梯阵*/
    int col=0;//当前处理的列
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){
    
    //枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){
    
    //与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(a[row][col]==0){
    
    //col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            row--;
            continue;
        }
 
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //枚举要删去的行
            if(a[i][col]!=0){
    
    
                int lcm=LCM(abs(a[i][col]),abs(a[row][col]));
                int ta=lcm/abs(a[i][col]);
                int tb=lcm/abs(a[row][col]);
                if(a[i][col]*a[row][col]<0)//异号情况相加
                    tb=-tb;
                for(int j=col;j<var+1;j++) {
    
    
                    a[i][j]=a[i][j]*ta-a[row][j]*tb;
                }
            }
        }
    }
 
    /*求解*/
    //无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if (a[i][col]!=0)
            return -1;
 
    //无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
 
    //唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵
    for(int i=var-1;i>=0;i--){
    
    //计算解集
        int temp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++){
    
    
            if(a[i][j]!=0)
                temp-=a[i][j]*x[j];
        }
        if(temp%a[i][i]!=0)//有浮点数解，无整数解
            return -2;
        x[i]=temp/a[i][i];
    }
    return 0;
}
 
int main(){
    
    
    int equ,var;//equ个方程，var个变元
    while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {
    
    
 
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<equ;i++)//输入增广矩阵
            for(int j=0;j<var+1;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
 
 
        int freeNum=Gauss(equ,var);//自由元个数
        if(freeNum==-1)//无解
            printf("无解\n");
        else if(freeNum==-2)//有浮点数解无整数解
            printf("无整数解\n");
        else if(freeNum>0){
    
    //有无穷多解
            printf("有无穷多解，自由变元个数为%d\n",freeNum);
            for(int i=0;i<var;i++){
    
    
                if(freeX[i])
                    printf("x%d是自由变元\n",i+1);
                else
                    printf("x%d=%d\n",i+1,x[i]);
            }
        }
        else{
    
    //有唯一解
            for(int i=0;i<var;i++)
                printf("x%d=%d\n",i+1,x[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

三、线性方程组浮点数类型

double a[N][N];//增广矩阵
double x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
 
int Gauss(int equ,int var){
    
    //返回自由变元个数
    /*初始化*/
    for(int i=0;i<=var;i++){
    
    
        x[i]=0;
        freeX[i]=true;
    }
 
    /*转换为阶梯阵*/
    int col=0;//当前处理的列
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){
    
    //枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){
    
    //与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(fabs(a[row][col])<1e6){
    
    //col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            row--;
            continue;
        }
 
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //枚举要删去的行
            if(fabs(a[i][col])>1e6){
    
    
                double temp=a[i][col]/a[row][col];
                for(int j=col;j<var+1;j++) 
                    a[i][j]-=a[row][j]*temp;
                a[i][col]=0;
            }
        }
    }
 
    /*求解*/
    //无解
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if(fabs(a[i][col])>1e6)
            return -1;
 
    //无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
 
    //唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵
    for(int i=var-1;i>=0;i--){
    
    //计算解集
        double temp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++)
            temp-=a[i][j]*x[j];
        x[i]=temp/a[i][i];
    }
    return 0;
}

四、求解模线性方程组

问题：什么是模线性方程组？
举个例子：（可能不成立，胡编的）
x%3 = 2
x%5 = 1
x%2 = 1
就是一组线性方程组，在求解时，利用函数的思想，借助扩展欧几里得求解
ps:图片来自：模线性方程组

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
int GCD(int a,int b){
    
    
    return !b?a:GCD(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b){
    
    
    return a/GCD(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){
    
    //返回自由变元个数
    /*初始化*/
    for(int i=0;i<=var;i++){
    
    
        x[i]=0;
        freeX[i]=true;
    }
 
    /*转换为阶梯阵*/
    int col=0;//当前处理的列
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){
    
    //枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){
    
    //与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(a[row][col]==0){
    
    //col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            row--;
            continue;
        }
 
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //枚举要删去的行
            if(a[i][col]!=0){
    
    
                int lcm=LCM(abs(a[i][col]),abs(a[row][col]));
                int ta=lcm/abs(a[i][col]);
                int tb=lcm/abs(a[row][col]);
                if(a[i][col]*a[row][col]<0)//异号情况相加
                    tb=-tb;
                for(int j=col;j<var+1;j++) {
    
    
                    a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[row][j]*tb)%MOD+MOD)%MOD;
                }
            }
        }
    }
 
    /*求解*/
    //无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if (a[i][col]!=0)
            return -1;
 
    //无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
 
    //唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵
    for(int i=var-1;i>=0;i--){
    
    //计算解集
        int temp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++){
    
    
            if(a[i][j]!=0)
                temp-=a[i][j]*x[j];
            temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;//取模
        }
        while(temp%a[i][i]!=0)//外层每次循环都是求a[i][i]，它是每个方程中唯一一个未知的变量
            temp+=MOD;//a[i][i]必须为整数，加上周期MOD
        x[i]=(temp/a[i][i])%MOD;//取模
    }
    return 0;
}

五、求解异或线性方程组

和线性加减方程组类似，只不过在化简上三角行列式的时候变为异或化简。

int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
int freeX[N];//自由变元
int Gauss(int equ,int var){
    
    //返回自由变元个数
    /*初始化*/
    for(int i=0;i<=var;i++){
    
    
        x[i]=0;
        freeX[i]=0;
    }
 
    /*转换为阶梯阵*/
    int col=0;//当前处理的列
    int num=0;//自由变元的序号
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){
    
    //枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){
    
    //与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(a[row][col]==0){
    
    //col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            freeX[num++]=col;//记录自由变元
            row--;
            continue;
        }
 
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    
            if(a[i][col]!=0){
    
    
                for(int j=col;j<var+1;j++){
    
    //对于下面出现该列中有1的行，需要把1消掉
                    a[i][j]^=a[row][j];
                }
            }
        }
    }
 
    /*求解*/
    //无解：化简的增广阵中存在(0,0,...,a)这样的行，且a!=0
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if(a[i][col]!=0)
            return -1;
 
    //无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
 
    //唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵
    for(int i=var-1;i>=0;i--){
    
    //计算解集
        x[i]=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
int enumFreeX(int freeNum,int var){
    
    //枚举自由元，统计有解情况下1最少的个数
    int sta=(1<<(freeNum));//自由元的状态总数
    int res=INF;
    for(int i=0;i<sta;++i){
    
    //枚举状态
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<freeNum;j++){
    
    //枚举自由元
            if(i&(1<<j)){
    
    
                cnt++;
                x[freeX[j]]=1;
            }else
                x[freeX[j]]=0;
        }
        for(int k=var-freeNum-1;k>=0;k--){
    
    //没有自由元的最下面一行
            int index=0;
            for(index=k;k<var;index++){
    
    //在当前行找到第一个非0自由元
                if(a[k][index])
                    break;
            }
            x[index]=a[k][var];
            for(int j=index+1;j<var;++j){
    
    //向后依次计算出结果
                if(a[k][j])
                    x[index]^=x[j];
            }
            cnt+=x[index];//若结果为1，则进行统计
        }
        res=min(res,cnt);
    }
    return res;
}
int main(){
    
    
    memset(a,0,sizeof(a));
 
    int equ,var;
    scanf("%d%d",&equ,&var);
    for(int i=0;i<equ;i++){
    
    //构造初始状态
 
    }
    for(int i=0;i<equ;i++)//最终状态
        scanf("%d",&a[i][var]);
 
    int freeNum=Gauss(equ,var);//获取自由元
    if(freeNum==-1)//无解
        printf("inf\n");
    else if(freeNum==0){
    
    //唯一解
        int res=0;
        for(int i=0;i<var;i++)
            res+=x[i];
        printf("%d\n",res);
    }
    else{
    
    //多个解
        int res=enumFreeX(freeNum,var);
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}

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六、Matrix Equation

2020济南站ICPC真题A题

通过观察发现C矩阵列无关性.通过高斯消元统计每列的自由元的个数即可.
ps(也可以发现答案的解都为2的次幂)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 2e2 + 7;
const int mod = 998244353;

int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
int freeX[maxn];//自由变元
int n;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
ll poww(ll a,ll b){
    
    
       ll ans=1;
       while(b > 0){
    
    
            if(b & 1) ans = ans * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;

       }
       return ans;
}
int Gauss(int equ,int var){
    
    
    for(int i=0;i<=var;i++){
    
    
        x[i]=0;
        freeX[i]=0;
    }
    int col=0;//当前处理的列
    int num=0;//自由变元的序号
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){
    
    //枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    //寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){
    
    //与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(a[row][col]==0){
    
    //col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            freeX[num++]=col;//记录自由变元
            row--;
            continue;
        }
        for(int i=row+1;i<equ;i++){
    
    
            if(a[i][col]!=0){
    
    
                for(int j=col;j<var+1;j++){
    
    //对于下面出现该列中有1的行，需要把1消掉
                    a[i][j]^=a[row][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if(a[i][col]!=0)
            return -1;
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
    return 0;
}

int main(){
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
    
    
        for(int j = 0; j < n; j ++){
    
    
            scanf("%d",&A[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i ++){
    
    
        for(int j = 0; j < n; j ++){
    
    
            scanf("%d",&B[i][j]);
        }
    }
    ll ans = 1;
    for(int r = 0;r < n; r ++){
    
    
        for(int i = 0;i < n;i++) {
    
    
            for(int j = 0;j < n;j++) {
    
    
                a[i][j] = A[i][j];
            }
        }
        for(int i = 0; i < n; i ++){
    
    
            a[i][i] = (A[i][i] - B[i][r] + 2) % 2;
//             a[i][i] = (A[i][i] * B[i][r]);
        }
        int freeNum=Gauss(n,n);
        if(freeNum == -1) continue;
        ans = (ans  *  poww(2 , freeNum)) % mod;
    }
    printf ("%lld\n",ans);
    return 0;
}