问题描述
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。
示例：
输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
提示：
2 <= piles.length <= 500
piles.length 是偶数。
1 <= piles[i] <= 500
sum(piles) 是奇数。
解决方式
动态规划
思路
让我们改变游戏规则，使得每当李得分时，都会从亚历克斯的分数中扣除。
令 dp(i, j) 为亚历克斯可以获得的最大分数，其中剩下的堆中的石子数是 piles[i], piles[i+1], …, piles[j]。这在比分游戏中很自然：我们想知道游戏中每个位置的值。
我们可以根据 dp(i + 1，j) 和 dp(i，j-1) 来制定 dp(i，j) 的递归，我们可以使用动态编程以不重复这个递归中的工作。（该方法可以输出正确的答案，因为状态形成一个DAG（有向无环图）。）
算法
当剩下的堆的石子数是 piles[i], piles[i+1], …, piles[j] 时，轮到的玩家最多有 2 种行为。
可以通过比较 j-i和 N modulo 2 来找出轮到的人。
如果玩家是亚历克斯，那么她将取走 piles[i] 或 piles[j] 颗石子，增加她的分数。之后，总分为 piles[i] + dp(i+1, j) 或 piles[j] + dp(i, j-1)；我们想要其中的最大可能得分。
如果玩家是李，那么他将取走 piles[i] 或 piles[j] 颗石子，减少亚历克斯这一数量的分数。之后，总分为 -piles[i] + dp(i+1, j) 或 -piles[j] + dp(i, j-1)；我们想要其中的最小可能得分。
Java语言：
class Solution {
public boolean stoneGame(int[] piles) {
int N = piles.length;
// dp[i+1][j+1] = the value of the game [piles[i], ..., piles[j]].
int[][] dp = new int[N+2][N+2];
for (int size = 1; size <= N; ++size)
for (int i = 0; i + size <= N; ++i) {
int j = i + size - 1;
int parity = (j + i + N) % 2; // j - i - N; but +x = -x (mod 2)
if (parity == 1)
dp[i+1][j+1] = Math.max(piles[i] + dp[i+2][j+1], piles[j] + dp[i+1][j]);
else
dp[i+1][j+1] = Math.min(-piles[i] + dp[i+2][j+1], -piles[j] + dp[i+1][j]);
}
return dp[1][N] > 0;
}
}
运行结果展示
