【算法】3.Eratosthenes筛选法与欧拉筛选法求素数

版权声明：转载请注明： https://blog.csdn.net/Halo_7777777/article/details/85334985

Eratosthenes筛法

1.原理

一个合数可以分成几个素数的和，如果把素数(最初只知道2)的倍数全都去掉，剩下的就都是素数了

2.思路分析

1. 去除0，1(既不是素数又不是合数)
2. 找到队列中最小的素数，删除其倍数

3.代码实现（只给出了函数，未写主函数）

用一数组存这一列数，数组的标号即为数字，值1表示为素数，值0表示不为素数

void sieveofe(int p[], int n)   //将数组p[],和数组的最大范围n,输入
{
    int i, j;
 
    p[0] = 0;
    p[1] = 0;
    p[2] = 1;
    // 初始化
    
    for(i = 3; i <= n; i++) 
	{
        p[i++] = 1;
        p[i] = 0;
    }
    //除了2，其余偶数都是合数，先去除偶数
    
    int max = sqrt(n);
    for(i = 3; i <= max; i++)     //只需要判断到sqrt(n)
	{
        if(p[i])
		{
            for(j = i * i; j < n; j += i)    
                p[j] = 0;
   //进行筛选，从i*i开始，如对素数3，从3*3开始，不需要从3*2开始，因为对素数2，2*3已经筛去
        }
    }
}

---

欧拉筛法

Eratosthenes筛选法虽然效率高，但是Eratosthenes筛选法做了许多无用功，一个数会被筛到好几次， 2✖6和3✖4都将12筛去，最后的时间复杂度是O(nloglogn),对于普通素数算法而言已经非常高效了,但欧拉筛选法的时间复杂度仅仅为O(n).

1.原理：

只需要依次筛去由素数为因子的数，剩下的都为素数
prime[ ] 数组中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[ j ] ，那么 i*prime[ j+1 ] 这个合数肯定被 prime[ j ] 乘以某个数筛掉。因为i中含有prime[ j ]。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。

在满足i%prime[ j ] == 0这个条件之前以及第一次满足改条件时, prime[ j ] 必定是 prime[ j ]*i 的最小因子。

2.代码实现：

const int Max = 100002;        
int Prime[Max];            //用于存素数的值
int vis[Max];              //用于判断并存所有的素数
void prime()
{
    int num = 0;
    memset(vis,1,sizeof(vis));    //申请空间，将vis数组都赋初值1，即都为素数 
    for(int i = 2; i <= Max; i++)
    {
        if(vis[i])
            Prime[num++] = i;     //依次存最小的素数
        for(int j = 0; j < num; j++)
        {
            if (i * Prime[j] > Max)
                break;
            vis[i * Prime[j]] = 0; //即 i*Prime[j]也不为素数
            if (i % Prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

总结：

1. Eratosthenes筛法的第一重循环是用来找素数,然后把素数的倍数标记,而欧拉筛法换了一个角度,第一位是找素数,但是标记的时候用的是所有数
2. 欧拉筛选法在数据小的时候不如Eratosthenes筛选法快,反而是数据变大以后，两者差距变得越来越明显,欧拉筛选法明显快于Eratosthenes筛选法
3. 欧拉算法是一种空间换时间的算法

参考文章：

https://blog.csdn.net/u012102306/article/details/71407105
https://blog.csdn.net/u012313335/article/details/47663801