第11章，从感知机到支持向量机

参考：
http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMjAzNDY5Mg==&mid=400067748&idx=1&sn=9c88eadfba5462281cd496e85ba3329c&scene=21#wechat_redirect
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837
https://www.zhihu.com/question/21094489
《统计学习方法》
https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/184073198

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1，感知机（perceptron）

感知机是最简单的神经元模型，由科学家Frank Rosenblatt发明于1950至1960年代，他受到了来自Warren McCulloch 和Walter Pitts的更早工作的启发。

感知机的工作原理如下：

输入量：$x_1,x_2,x_3$
权重： $w_1,w_2,w_3$
阈值：threshold
输出量：0 or 1

变换，令b≡-threshold
所以，可以理解为感知机是一个线性分类器：f(x) = wx+b
该线性分类器由超平面 wx+b=0 进行划分。

2，线性硬间隔支持向量机

当我们的样本是完全的线形可分时，我们介绍最简单的一种支持向量机，

（1）改进

根据上图中感知机的超平面可以引出下面几个问题：

• 样本可以完全的被超平面划分，所以是线形可分的
• 更改w、b的取值，我们可以得到无数多个超平面f(x)。即只要保证X点都在超平面上方，O点都在下方即可；
• 那么如何挑选最优的那一个超平面呢？即超平面与最近的C点距离多远算事最优的呢？
• 最大化几何间隔找出最优超平面

(2) 函数间隔与几何间隔

.1) 几何间隔

假设图中超平面：f(x) = wx+b=0
则，w是其法向量：

因为假设在超平面上任意的两个点x1,x2，则
wx1=-b
wx2=-b
=> w(x1-x2)=0
又因(x1-x2) 是超平面上的任意向量，根据法向量定义，可知$\vec{w}$是超平面的法向量。

令$\hat{r}$表示任意点x到超平面的距离，则，
$x-x_0=\hat{r}*\frac{w}{||w||}$ …(1)
其中，
$x-x_0$是向量的坐标表示法
$\hat{r}*\frac{w}{||w||}$是单位向量乘以长度的表示法

又因为$wx_0+b=0$，则对方程(1)两边均乘以w时，有
$wx-wx_0=w\hat{r}*\frac{w}{||w||}=\hat{r}*\frac{||w||^2}{||w||}$
$wx+b=\hat{r}*||x||$，最终得到任意点到超平面距离(几何间隔)为，
$\hat{r}=\frac{wx+b}{||w||}$

.2) 函数间隔
我们是用超平面f(x) = wx+b来预测y值的。
感知机时，y值的标记是0或1，此处我们变换一下，当f(x)>=0时，y=1,f(x)<0时，y=-1。作为二分类的不同标记方式，并不影响结果。

我们定义一个函数间隔 r，
$r=y*f(x) = y(wx+b)=|wx+b|$

从定义上我们可知，几个间隔=函数间隔／||w||

则，函数间隔的几何意义表示任意一个点到超平面点距离的||w||倍
当我们限制法向量的长度为1，即$||w||=1$时，函数间隔=几何间隔

（3）最优目标

我们的最优目标是希望能够找到一个超平面，能够分割两类的点，并且这个超平面距离两类最近的点的间隔都是一样的远。

距离两类最近的点即为“支持向量”。
两类支持向量到超平面的几何间隔是一样的，我们的目标，就是想让支持向量到超平面的几何间隔($\hat{r}$ )最大化，即

max $\hat{r}$
s.t. $\frac{y_i(wx_i+b)}{||w||}>=\hat{r}$

上式中，最大化几何间隔，可以改写为最大化函数间隔

max $\frac{r}{||w||}$
s.t. $y_i(wx_i+b)>=r$

我们再来考虑一个问题：
令函数间隔为一个常数，是否可行？

函数间隔实际上是等于|wx+b|的，那么不论|wx+b|等于什么，只要w和b同比例放大或缩小之后，都可以让|wx+b|=1成立。所以，当我们研究目标函数最大或最小值时，等比例的问题是不影响求解最优值的。C为常数时，max(C*x)=C*max(x)

于是为了简化求解方程，我们令函数间隔为1，即，我们会得到两个关于f(x)=0对称的超平面，如下所示：

于是，我们的优化问题又变为
max $\frac{1}{||w||}$
s.t. $y_i(wx_i+b)>=1$

其中，$\frac{1}{||w||}$ 为超平面f(x)=1到f(x)=0的几何距离
即，我们研究点最优解点目标为，最大化|f(x)|=1的两个对称超平面之间的间隔，并且支持向量会落在这两个超平面上。

最后，又因为最大化$\frac{1}{||w||}$与最小化$\frac{1}{2}||w||^2$是等价的，最终我们得到求解目标为：

min $\frac{1}{2}||w||^2$
s.t. $y_i(wx_i+b)>=1$

现在的目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以目标问题是一个凸二次规划问题
引入拉格朗日算子${a_i}$ ，我们有：

$L(w,b,a)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum{a_iy_i(wx_i+b)}+\sum{a_i}$ （7.18）

求解过程：
原始问题的对偶问题为，$Max_{(a)}Min_{(w,b)}(L(w,b,a))$

先求解$θ=Min_{(w,b)}(L(w,b,a))$

再求解$Max_{(a)}θ$

$Max_{(a)}θ$=$Min_{(a)}(-θ)$，即我们求

我们可以得到a的解.

求解后，带入原始方程

此处，我们把x表示成向量内积的形式，为核变换做准备。

3，线性软间隔支持向量机

（1）改进
“线性硬间隔支持向量机”的假设是数据线性可分，但是当数据是线性不

• 可分的时候要如何处理呢？
• 硬间隔最大化 -> 变成软间隔最大化

线性不可分意味着，并不是所有的点都能够满足：大于等于支持向量的几何间隔(即1).因此我们对每个样本$(x_i,y_i)$引入了松弛变量$ε_i>=0$

$y_i(wx_i+b)>=1-ε_i$

同时对每一个松弛变量都支付一个代价，目标函数变为：
$\frac{1}{2}||w||^2+C\sum{ε_i}$
此处，C称作惩罚参数，对代价有调节的作用。

min $\frac{1}{2}||w||^2+C\sum{ε_i}$
s.t. $y_i(wx_i+b)>=1-ε_i$
$ε_i>=0$

可以证明w的解是存在的且唯一，但是b的值不是唯一的，存在一个区间。
根据硬间隔支持向量机的推到，可以得到：

4，Hilbert空间

• 1）.线性空间
  线性空间又称作向量空间，关注的是向量的位置，对于一个线性空间，知道基（相当于三维空间中的坐标系）便可确定空间中元素的坐标（即位置）；线性空间只定义了加法和数乘运算。如果我们想知道向量的长度怎么办？—-定义范数，引入赋范线性空间
• 2）.赋范线性空间定义了范数的线性空间
  如果我们想知道向量的夹角怎么办？—-定义内积，引入内积空间
• 3）.内积空间定义了内积的线性空间。
• 4）.欧式空间定义了内积的有限维实线性空间。如果我们想研究收敛性（极限）怎么办？—-定义完备
• 5）.Hilbert空间完备的内积空间

5，核函数定义

如果数据集线性不可分，那么把数据集映射到高维特征空间后，往往是线性可分的。比如说，m维的数据，在m-1维空间中，往往可以被超平面线性可分。

所以说，把数据映射到高维空间是有好处的。

假设我们定义了一个高维的映射,但是联想到我们“线性硬间隔svm算法中的内积形式”，可知，这种高维映射后的内积的计算量比较大的。

那么有没有一种高维的映射，使得映射后的向量内积直接等于一个固定形式呢？

如果有，那么这种隐式的映射会大大减少计算量。(所谓隐式，是因为我们只需要知道映射到高维的内积的具体形式及结果即可，不需要中间映射后的高维向量本身) 这就引出了我们要介绍的核函数。

核函数

假设X是输入空间(欧式空间)，H是特征空间(Hilbert空间)，如果存在一个X到H到映射：
$θ(x):X->H$
对于所有x,z ∈ X，函数K(x,z) 满足条件
K(x,z)=θ(x)θ(z)
则称K(x,z)为核函数，θ(x)为映射函数，核函数等于映射的内积

备注：特征空间一般是高维的，甚至是无穷维的

所以，给定和函数，把线性svm求解中的向量内积全部替换成核函数，即可隐式的实现，用线性分类的方法求解非线性问题。学习是隐式的在特征空间内进行的，这样的技巧称为核技巧。

6，常用核函数

1) 线性核函数
$θ(x)=x,K(X,X')=X^TX'$

2) 多项式核函数
$K(x,x_i)=(xx_i+1)^q$

3) 高斯径向基核函数
$K(x,x_i)=exp\{-\frac{||x-x_i||}{2σ^2}\}$

4) Sigmoid核函数
$K(x,x_i)=tanh(v(xx_i)+c)$

5) 字符串核