第四章总结 朴素贝叶斯法

朴素贝叶斯法 $Naive Bayes$ 是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。朴素一词也意味着它是一种最简单、常见的贝叶斯方法，朴素贝叶斯是贝叶斯证据独立的表达形式，属于一种特例。

4.1 朴素贝叶斯的学习和分类

4.1.1 概率论基础

先验概率、条件概率和后验概率

先验概率：事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计，可以由背景常识得出，也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率，如 $P(x)$, $P(y)$。

条件概率：一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为 $P(x|y)$ 表示 $y$ 发生的条件下 $x$ 发生的概率。

后验概率：事件发生后求的反向条件概率；或者说，基于先验概率求得的反向条件概率。一般表示为 $P(y|x)$ 。

从原因到结果的论证称为“先验的”，而从结果到原因的论证称为“后验的”。

在概率论中，$y \to x$ 意味着 $y$ 由这个原因呈现出 $x$ 这个特征，我们将 $x$ 表示为 特征 相当于 结果 而不是 原因，
同时，我们将 $y$ 表示为 类别、值等 等价于 原因。

先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的 ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概率是相对的。

先验概率的分类：

利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；
当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。

贝叶斯公式的推导过程：

条件概率

$$P(x|y) = \frac {P(x,y)}{ P(y)}$$
得到 $P(x,y)$
$$P(x,y) = P(x|y) P(y)$$
同理
$$P(y|x) = \frac {P(x,y)}{ P(x)}$$
将 $P(x,y)$ 代入上式
$$P(y|x) = \frac {P(x|y) P(y)}{ P(x)}$$

这里： $P(y|x)$ 是后验概率，一般是我们求解的目标。

4.2 朴素贝叶斯基本方法

我们的目标是，根据 $x$ , 找出 后验概率 $P(y|x)$ 最大的 $y$ 值。
先验概率分布

$$P(Y=c_k) , k = 1,2,...,K$$
条件概率分布
$$P(X=x|Y=c_k) = P(X^{(1)} = x^{(1)},...,X^{(n)} = x^{(n)}|Y=c_k ) , k = 1,2,...,K$$
于是可以学习到联合概率分布 $P(X,Y) = P(X|Y)P(Y)$。
但是正常情况下 条件概率分布 $P(X=x|Y=c_k)$ 有指数级数量的参数，计算上不可行。

因此，朴素贝叶斯方法的核心 朴素 就是对条件概率分布 作出了 条件独立性的假设
等于说用于分类的特征在类的条件下都是条件独立的，它使得贝叶斯方法简化的同时，也一定程度上降低的分类的精确性。
具体，基于条件独立假设的条件概率分布

$$P(X=x|Y=c_k) = P(X^{(1)} = x^{(1)} ,...,X^{(n)} = x^{(n)}|Y=c_k ) , k = 1,2,...,K$$
$$= \prod_{j=1}^{n} P(X^{(j)} = x^{(j)} | Y = c_k)$$
具体推导如下
$$P(x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...|y) = P(x^{(1)}|y)P(x^{(2)}|x^{(1)},y)...P(x^{(3)}|y,x^{(1)},x^{(2)},...)$$
$$= P(x^{(1)}|y)P(x^{(2)}|y)...P(x^{(3)}|y)$$
$$= \prod_{i=1}^{n} P(x^{(i)} | y)$$

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朴素贝叶斯法分类时，对给定的输入 $x$ ，通过学习到的模型计算后验概率分布 $P(Y=c_k|X=x)$ ,将后验概率最大的类作为 $x$ 的类输出
由全概率公式

$$P(Y|X) = \frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)} = \frac {P(X|Y)P(Y)}{\sum_k P(X|Y=c_k)P(Y=c_k) }$$
$$P(Y = c_k | X = x) = \frac {P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{\sum_k P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$$
$$P(Y = c_k | X = x) = \frac {P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k) }{\sum_k P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k)}$$

朴素贝叶斯分类器可表示为

$$y = f(x) = arg \max_{c_k} \frac {P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k) }{\sum_k P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k)}$$
上式中，分母对所有 $c_k$ 都是相同的，所以去掉分母
$$y = f(x) = arg \max_{c_k} P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k)$$

4.3 后验概率最大化的含义

上述朴素贝叶斯法将实例分到后验概率最大的类中，等价于期望风险最小化。

证明详见 《统计学习方法》 $P_{48-49}$

4.4 朴素贝叶斯的参数估计

4.4.1 极大似然估计

先验概率 $P(Y = c_k)$ 的极大似然估计是

$$P(Y = c_k) = \frac {\sum_{i=1}^{N} I(y_i = c_k)}{N}, k = 1,2,...,K$$
设第 $j$ 个特征 $x^{(j)}$ 可能取值的集合为 $\{ a_{j1},a_{j2},...,a_{jS_j} \}$ ，条件概率 $P(X^{(j)} = a_jl|Y=c_k)$ 的极大似然估计是
$$P(X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k) = \frac {\sum_{i=1}^{N} I(x_i^{(j)} = a_{jl},y_i = c_k)}{\sum_{i=1}^{N} I(y_i = c_k)}$$
$$j = 1,2,...,n;l=1,2,...,S_j;k=1,2,...,K$$

式中，$x_i^{(j)}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征；$a_{jl}$ 是第 $j$ 个特征可能取的第 $l$ 个值；$I$ 为 指数函数。

4.4.2 学习与分类算法

朴素贝叶斯算法 $(naive$ $Bayes$ $algorithm)$
输入： 训练数据 $T = \{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$，其中 $x_i = (x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}) ^T$ , $x_i^{(j)}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征，$x_i^{(j)} \in \{ a_{j1},a_{j2},...,a_{jS_j} \}$，$a_{jl}$ 是第 $j$ 个特征可能取的第 $l$ 个值，$j = 1,2,...,n; l= 1,2,...,S_j;y_i \in \{ c_1,c_2,...,c_K \}$，实例 $x$;

输出：实例 $x$ 的分类
（1）计算先验概率及条件概率

$$P(Y=c_k) = \frac {\sum_{i=1}^{N} I(y_i = c_k)}{N}, k = 1,2,...,K$$
$$P(X^{(j)} = a_{jl} | Y = c_k) = \frac {\sum_{i=1}^{N} I(x_i^{(j)} = a_{jl},y_i = c_k)}{\sum_{i=1}^{N} I(y_i = c_k)}$$
$$j = 1,2,...,n;l=1,2,...,S_j;k=1,2,...,K$$
（2）对于给定的实例 $x = (x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)}) ^T$ ，计算
$$P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k) , k = 1,2,...,K$$
（3）确定实例 $x$ 的分类
$$y = arg \max_{c_k} P(Y=c_k)\prod_j P(X^{(j)} = x^{(j)} |Y=c_k)$$

4.4.3 贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出所要估计的概率值为0的情况，解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计，条件概率的贝叶斯估计是

$$P_{\lambda} (X^{(j)} = a_{jl}|Y=c_k) = \frac {\sum_{i=1}^N I(x_i^{(j)} = a_{jl},y_i = c_k) + \lambda}{\sum_{i=1}^N I(y_i = c_k) + \lambda}$$

$\lambda \ge 0$,当 $\lambda =0$ 时,为极大似然估计，当$\lambda =1$ 时，为拉普拉斯平滑 $(Laplace$ $smoothing)$

同样，先验概率的贝叶斯估计是

$$P_{\lambda} (Y=c_k) = \frac {\sum_{i=1}^N I(y_i = c_k) + \lambda}{N + K \lambda}$$