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《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君 高等教育出版社
有限维到无限维
向量中有有限个元素,它们可以进行加法、数乘、定义范数、定义内积、定义夹角。比如,对于向量
a和
b,其夹角余弦值为
cos<a,b>=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣(a,b)
那么,如果把一个向量中的元素数量扩展到无穷,向量就变成了函数,我们尝试仿照向量,对函数定义范数、内积、夹角。首先是内积,它变成了
(f,g)=∫f(x)g(x)dx
有了内积,很容易定义出范数。
∣∣f∣∣=(f,f)
=∫f2(x)dx
以及夹角。
cos<f,g>=∣∣f∣∣⋅∣∣g∣∣(f,g)
有了夹角,我们就可以定义函数的正交,即如果
cos<f,g>=0,则函数
f与
g正交。正交函数族的例子有三角函数(傅里叶分解的基函数),切比雪夫多项式等等。函数在一组两两正交函数
ϕi(x)上的投影,被称为广义傅里叶级数。即
f=−∞∑∞ciϕi
其中,
ci=(fi,ϕi)
如果我们只取级数中的
N项和
fN作为对
f的逼近,那么就有误差
e=∣∣fN−f∣∣
对于这
N项的基函数,按
(fi,ϕi)选取
ci能让误差最小,因此
fN是一个最佳逼近。
线性泛函的例子
就像向量函数以向量为自变量,泛函以函数(无限维的向量)为自变量。其映射
J为
函数空间→R。
最速降线
问题:从
(0,0)到
(x1,y1)构建一个光滑斜曲面,使得小球在重力中下降速度最快。
假设曲面的函数为
y=y(x),那么有两端的约束
y(0)=0,y(x1)=y1;当小球下落到
(x,y)时,按照能量守恒,它的速度为
v=2gy
,取一个微元,斜面长度为
1+y′2
,因此通过这个微元的时间为
t=2gy
1+y′2
因此通过整个斜面的总时间为
T=∫0x1tdx=∫0x12gy
1+y′2
dx
假设这个斜面是连续的,那么解一定存在于如下的函数空间(
C1表示一阶连续):
A={y∣y(x)∈C1(x,y)y(0)=0,y(x1)=y1}
假设
y∗是最后的解,那么我们要求的问题就变成了一个优化问题
y∗=argminy∈AT
一会儿再考虑如何求解这个方程。
极小曲面问题
问题:求一段通过
(x1,y1)和
(x2,y2)的曲线,绕着
x轴旋转后侧面表面积最小。
首先写出面积公式。按
x轴分成无数个微元,每个微元都是一个周长为
2πy,高为
1+y′2
的长方形,因此总面积为
S=∫x1x22πy1+y′2
dx
然后是解空间,假设曲线二阶连续,则有
A={y∣y(x)∈C2(x,y)y(x1)=y1,y(x2)=y2}
最后是求解的优化问题,令最优解为
y∗,则
y∗=argminy∈AS
测地线问题
问题:在一个曲面上,求解两点间在曲面上的最短距离。
假设曲面方程为
g(x,y,z)=0,直线方程为
l={y=y(x)z=z(x)
首先是距离公式。
S=∫x1x21+y′2+z′2
dx
然后是解空间。
A={y∣g(x,y(x),z(x))=0,x∈(x1,x2)g(x1,y1,z1)=0,g(x2,y2,z2)=0}
最后是优化问题。
y∗=argminy∈AS
等周问题
一段长为
L的线段,如何围成更大的面积。
这是作业,还没完成。
欧拉公式
欧拉公式帮助我们进行具体的求解。
一个引理
设
f(x)∈C[x0,x1],η(x)∈C0∞[x1,x2],其中
C0∞表示在边界上导数为0,中间无限次可导。如果有
∫x1x2f(x)η(x)dx=0,∀η∈C0∞[x1,x2]
则
f(x)=0。
证明:反证法。假设
f(x0)>0,则有
x~1<x0<x~2,在这个区间内,
f(x)>0。构造
η(x)={K(x−x~1)2n(x−x~2)2n,0,x∈(x~1,x~2)x∈/(x~1,x~2)
其中
K>0,
n为正整数,则
∫x1x2f(x)η(x)dx=∫x~1x~2f(x)K(x−x~1)2n(x−x~2)2ndx>0
矛盾。因此引理成立。
基本定理
设泛函
J(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dx,
F关于
x,y,y′连续,且有二阶连续偏导。假设解空间为
A={y∈C2(x1,x2),y(x1)=y1,y(x2)=y2}
则
y∗满足
Fy−dxdFy′=0
此为欧拉方程。
证明:
A中任意一个
y都可以写成
y∗+ϵη的形式,因此
J(y)=∫x1x2F(x,y,y′)dx=∫x1x2F(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)dx=Φ(ϵ)
由于在
ϵ=0时取到最值,因此我们对上式关于
ϵ求导结果应为
0,得到
Φ′(ϵ)=∫x1x2dϵdFdx=∫x1x2dxdFdϵdx+dydFdϵdy+dy′dFdϵdy′dx=∫x1x20+dydFη+dy′dFη′dx=∫x1x2dydFηdx+∫x1x2dy′dFdη=∫x1x2dydFηdx+dy′dFη∣x1x2−∫x1x2ηdxdFy′dx=∫x1x2dydFηdx−∫x1x2ηdxdFy′dx=0→Fy−dxdFy′=0
其中,第三行到第四行是分部积分,第四行到第五行是因为
η(x1)=η(x2)=0,第五行到第六行是因为上述引理。
欧拉定理在最速降线的运用
最速下降问题的表达式。
T=∫0x12gy
1+y′2
dx=2g
1∫0x1F(x,y,y′)dx
求解
Fy和
Fy′。
FyFy′=−21y−231+y′2
=y−21y′(1+y′2)−21
带入欧拉方程,得到
−21y−231+y′2
−dxdy−21y′(1+y′2)−21=0
化简(参考下一节的第一种退化情况),得到
1+y′2+2yy′′=0
求解常微分方程,得到
{x=c(u−sinu)y=c(1−cosu)
其中,
c由
(x1,y1)确定。因此,最速降线为摆线。
(求解常微分方程,这里属于方程中只有
y的情况,因此令
p=y′,改造方程为
1+p2+2yp′=0,先求
p,再求
x)。
常见的欧拉方程的退化情况
第一种,
F(x,y,y′)=v(x,y)1+y′2
。这种情况往往是由于需要乘上弦长
1+y′2
而出现。
应用欧拉方程,得到
→→vy1+y′2
−dxdvy′(1+y′2)−21=0vy1+y′2
−vxy′(1+y′2)−21−vyy′2(1+y′2)−21−vy′′(1+y′2)−23=0vy−vxy′−v1+y′2y′′=0
其中,第一行到第二行中,第二项为全积分展开。
第二种,
F(x,y,y′)=F(x,y′)。
应用欧拉方程,得到
dxdFy′=0→Fy′=c
第三种,
F(x,y,y′)=F(y,y′)。
应用欧拉方程,得到
Fy−dxdFy′=0→y′Fy−y′dxdFy′=0→dxd(F−y′Fy′)=0→F−y′Fy′=c
第四种,
F(x,y,y′)=F(x,y)。
应用欧拉方程,得到
Fy=0
第五种,
F(x,y,y′)=P(x,y)+Q(x,y)y′。
应用欧拉方程,得到
→∂y∂P+∂y∂Qy′−(∂x∂Q+∂y∂Qy′)=0∂y∂P−∂x∂Q=0
参考文献
《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》欧斐君 高等教育出版社